Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 20 mm, E = 200 GPa) steckt in einem Rohr aus Kupfer (Außendurchmesser 120 mm, Innendurchmesser 70 mm, E = 120 GPa). Beide sind 300 mm lang und werden zwischen starren Platten mit 50 kN zusammengedrückt. Bestimme die Verkürzung δ.

P = 50 kNStab: Ø20 mm, E = 200 GPaRohr: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 60 kNAbschnitt 1: Ø25 mm, 1 m, Kupfer (E = 117 GPa)Abschnitt 2: Ø20 mm, 0,5 m, Stahl (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Aluminium ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 500 N·md = 30 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Aluminium mit 50 mm Durchmesser ist an beiden Enden A und B in starren Wänden eingespannt. In C, 3 m von A und 1,2 m von B entfernt, wird ein Drehmoment von 500 N·m aufgebracht. Bestimme den Drehwinkel φ_C des Querschnitts C in Grad.

d = 50 mmT₀ = 500 N·ma = 3 mb = 1,2 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 2,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 10 mw = 10 kN/m von 0 bis 10 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 3 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 8 mP = 20 kN bei 3 mw = 12 kN/m von 0 bis 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 10 kN·m. Bestimme die Biegespannung σ_unten an der Unterkante.

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mmM = 10 kN·m

σ_unten = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = 80 MPa und σᵧ = 60 MPa. Wie groß darf die Schubspannung τ_xy (Betrag) werden, bevor die größte Hauptspannung 100 MPa erreicht?

σ_x = 80 MPaσ_y = 60 MPaσ₁ = 100 MPa

τ_xy = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = 40 MPa, σᵧ = −70 MPa und τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Bestimme die Vergleichsspannung nach von Mises σ_vM.

σ_x = 40 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 50 MPa

σ_vM = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 1,5 m von A. Bestimme die Durchbiegung δ_B am freien Ende B.

P = 17 kNa = 1,5 mL = 5 mE = 200 GPa (Stahl)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein einseitig eingespannter Träger ist in A eingespannt und in B gelenkig gestützt. Er trägt in Feldmitte eine Einzellast P. EI ist konstant. Bestimme die Auflagerkraft R_B an der Stütze.

L = 5 mP = 80 kN bei 2,5 m

R_B = kN

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 0,01565 mm

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·7461 = 9,582 × 10⁸ N

Verkürzung

δ = 50000·300/9,582 × 10⁸ = 0,01565 mm

Antwort

δ = 0,01565 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 1,522 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 122,2 MPa

σ₂ = 191 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 122,2·1000/117000 = 1,045 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 191·500/200000 = 0,4775 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,522 mm

Antwort

δ = 1,522 mm

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 13,86 °

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(26000·79522) = 0,2418 rad

φ = 0,2418·180/π = 13,86°

Antwort

φ = 13,86°

4.Torsion von Wellen

Antwort: φ_C = 1,539 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen. Sind beide Enden eingespannt, liefert die Statik allein nur T_A + T_B = T₀; die zweite Gleichung ist die Verträglichkeit (gleiche Verdrehung beider Teile am belasteten Querschnitt).

Gleichgewicht und Verträglichkeit

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·1,2/4,2 = 142,9 N·m

T_B = 500·3/4,2 = 357,1 N·m

Drehwinkel von C

Verwende Abschnitt AC: Er ist in A eingespannt und überträgt T_A.

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 142857·3000/(26000·613592) = 0,02686 rad = 1,539°

Antwort

φ_C = 1,539°

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 93,75 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, angreifend bei x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·10·5

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

Schnitt bei x = 2,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 50·2,5 − 10·2,5·1,25 = 93,75 kN·m

Antwort

M_x = 93,75 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 127,5 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·3 + 12·8·4

R_B = 444/8 = 55,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 116 − 55,5 = 60,5 kN

Schnitt bei x = 3 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 60,5·3 − 12·3·1,5 = 127,5 kN·m

Antwort

M_x = 127,5 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 7,219 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 140 + 15/2 = 147,5 mm

Steg: A_w = 8·140 = 1120 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·147,5 + 1120·70)/5320 = 131,2 mm

Satz von Steiner

Flansch: 280·15³/12 + 4200·(147,5 − 131,2)² = 1,197 × 10⁶ mm⁴

Steg: 8·140³/12 + 1120·(70 − 131,2)² = 6,022 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,197 × 10⁶ + 6,022 × 10⁶ = 7,219 × 10⁶ mm⁴ = 7,219 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 7,219 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_unten = 27,45 MPa

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 160·15 = 2400 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

Steg: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·287,5 + 5040·140)/7440 = 187,6 mm

Satz von Steiner

Flansch: 160·15³/12 + 2400·(287,5 − 187,6)² = 2,401 × 10⁷ mm⁴

Steg: 18·280³/12 + 5040·(140 − 187,6)² = 4,434 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,401 × 10⁷ + 4,434 × 10⁷ = 6,834 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

Die Unterkante liegt ȳ von der Achse entfernt.

y = 187,6 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·187,6/6,834 × 10⁷ = 27,45 MPa

Antwort

σ_unten = 27,45 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_xy = 28,28 MPa

Erforderlicher Radius

C = (80 + 60)/2 = 70 MPa

R = σ₁ − C = 100 − 70 = 30 MPa

Schubspannung

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(30² − 10²) = 28,28 MPa

Antwort

τ_xy = 28,28 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_vM = 129,6 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Fließkriterien: Nach von Mises tritt Fließen ein, wenn σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) die Streckgrenze σ_Y erreicht; nach Tresca, wenn die absolut größte Schubspannung σ_Y/2 erreicht.

Hauptspannungen

C = −15 MPa, R = 74,33 MPa

σ₁ = 59,33 MPa, σ₂ = −89,33 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(59,33² − 59,33·(−89,33) + (−89,33)²) = 129,6 MPa

Antwort

σ_vM = 129,6 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_B = 3,586 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 17000 N, a = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Durchbiegung am freien Ende

Durchbiegung an der Last plus Neigung an der Last mal Restlänge.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,7969 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0007969 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 3,586 mm

Antwort

δ_B = 3,586 mm

12.Durchbiegung

Antwort: R_B = 25 kN

Stütze entfernen

Ohne die Stütze ist der Balken ein Kragarm. Sein freies Ende würde sich unter der Last durchbiegen.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Verträglichkeit an der Stütze

Die Stützkraft R_B allein hebt das freie Ende um R_BL³/(3EI) an. Die Stütze hält B bei null Durchbiegung, also müssen sich beide aufheben. EI kürzt sich heraus.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·80/16 = 25 kN

Antwort

R_B = 25 kN

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 373 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/2100² = 373001 N = 373 kN

Antwort

P_cr = 373 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 24,87 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/15 = 166,7

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/166,7² = 24,87 MPa

Antwort

σ_cr = 24,87 MPa

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