Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Stahl, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 110 kNd = 10 mmL = 1 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 10 kNAbschnitt 1: Ø40 mm, 2 m, Messing (E = 100 GPa)Abschnitt 2: Ø12 mm, 1 m, Kupfer (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Messing ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Messing mit 30 mm Durchmesser ist in A eingespannt. In B, 2 m von A entfernt, wirkt ein Drehmoment von 400 N·m, und am freien Ende C, weitere 0,8 m entfernt, wirkt ein Drehmoment von 500 N·m im gleichen Drehsinn. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

d = 30 mmT_B = 400 N·mT_C = 500 N·mAB = 2 mBC = 0,8 m

τ_max = MPa

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme die Querkraft V_x im Schnitt x = 2,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 10 mw = 2 kN/m von 0 bis 10 mx = 2,5 m

V_x = kN

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 1 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 5 mP = 50 kN bei 1 mw = 12 kN/m von 0 bis 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein rechteckiger Hohlquerschnitt (Kastenquerschnitt) hat die Außenbreite B = 200 mm, die Außenhöhe H = 325 mm und eine gleichmäßige Wanddicke t = 12 mm. Bestimme seinen Trägheitsradius r um die horizontale Schwerachse.

B = 200 mmH = 325 mmt = 12 mm

r = mm

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 10 kN·m. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_oben an der Oberkante.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 280 mmM = 10 kN·m

σ_oben = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = 0 MPa, σᵧ = 90 MPa und τₓᵧ = −30 MPa (Zug positiv). Das Element wird um 25° gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Bestimme die Normalspannung σ_y′ auf den Flächen des gedrehten Elements, die senkrecht zur gedrehten y′-Achse stehen.

σ_x = 0 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein dünnwandiger zylindrischer Behälter mit 1500 mm Innendurchmesser und 15 mm Wanddicke enthält Gas mit einem Überdruck von 0,8 MPa. Er ist aus Blech gefertigt, das entlang einer schraubenförmigen Naht unter 35° zur Zylinderachse verschweißt ist. Bestimme den Betrag der Schubspannung |τ_n|, die entlang der Schweißnaht wirkt.

D = 1500 mmt = 15 mmp = 0,8 MPaα = 35°

|τ_n| = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Durchbiegung δ am freien Ende.

w = 6 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (Holz)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment I_req, das diese Grenze einhält.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (Stahl)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 7003 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 110·1000/78,54 = 1401 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Stahl = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1401/200000 = 0,007003 = 7003 µε

Antwort

ε = 7003 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 0,9149 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 7,958 MPa

σ₂ = 88,42 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 7,958·2000/100000 = 0,1592 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 88,42·1000/117000 = 0,7557 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,9149 mm

Antwort

δ = 0,9149 mm

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 4,789 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(39000·613592) = 0,08358 rad

φ = 0,08358·180/π = 4,789°

Antwort

φ = 4,789°

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 169,8 MPa

Innere Drehmomente

Drehsinn von T_C als positiv angenommen.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 400 = 900 N·m

Maximale Schubspannung

Der Abschnitt mit dem größten inneren Drehmoment hat die größte Spannung (gleicher Durchmesser).

|T|_max = 900 N·m

τ_max = 16·900000/(π·30³) = 169,8 MPa

Antwort

τ_max = 169,8 MPa

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: V_x = 5 kN

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, angreifend bei x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 2·10·5

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Schnitt bei x = 2,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

V = R_A − (alle Lasten nach unten links vom Schnitt)

V_x = 10 − 2·2,5 = 5 kN

Antwort

V_x = 5 kN

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 64 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, angreifend bei x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1 + 12·5·2,5

R_B = 200/5 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 40 = 70 kN

Schnitt bei x = 1 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 70·1 − 12·1·0,5 = 64 kN·m

Antwort

M_x = 64 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: r = 119,7 mm

Flächenträgheitsmoment: Für ein Rechteck gilt um seine eigene Schwerachse I = bh³/12 und um seine Grundlinie bh³/3 (Satz von Steiner I = I_c + A·d²). Ein Loch wird berücksichtigt, indem man sein I abzieht, solange beide Teile dieselbe Achse haben. Das elastische Widerstandsmoment ist S = I/c, wobei c der Abstand zur Randfaser ist. Der Trägheitsradius r = √(I/A) ist der Abstand, in dem die ganze Fläche dasselbe I ergäbe; er wird beim Knicken von Stützen verwendet.

Nettofläche und Netto-Flächenträgheitsmoment

b = 176 mm, h = 301 mm

A = BH − bh = 200·325 − 176·301 = 12024 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,722 × 10⁸ mm⁴

Trägheitsradius

r = √(I/A) = √(1,722 × 10⁸/12024) = 119,7 mm

Antwort

r = 119,7 mm

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_oben = 14,38 MPa

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

Steg: A_w = 16·280 = 4480 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·285 + 4480·140)/7280 = 195,8 mm

Satz von Steiner

Flansch: 280·10³/12 + 2800·(285 − 195,8)² = 2,232 × 10⁷ mm⁴

Steg: 16·280³/12 + 4480·(140 − 195,8)² = 4,32 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,232 × 10⁷ + 4,32 × 10⁷ = 6,552 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

Die Oberkante liegt h − ȳ von der Achse entfernt.

y = 290 − 195,8 = 94,23 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·94,23/6,552 × 10⁷ = 14,38 MPa

Antwort

σ_oben = 14,38 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_y′ = 96,91 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Transformationsgleichung für die y′-Fläche

σ_y′ = 45 − (−45)·0,6428 − (−30)·0,766 = 96,91 MPa

Probe

Die Summe der Normalspannungen ändert sich bei einer Drehung nicht.

σ_x′ = −6,907 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 90 = σ_x + σ_y

Antwort

σ_y′ = 96,91 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: |τ_n| = 9,397 MPa

Spannungen in der Wand

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 0,8·750/15 = 40 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20 MPa

Auf die Naht transformieren

Lege x entlang der Achse (σ_a) und y in Umfangsrichtung (σ_h). Die Normale der Naht bildet mit der Achse den Winkel 90° − α.

|τ_n| = (40 − 20)·sin 35°·cos 35° = 9,397 MPa

Antwort

|τ_n| = 9,397 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ = 4,109 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 1500 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Durchbiegung

δ = wL⁴/(8EI) = 6·1500⁴/(8·9,24 × 10¹¹) = 4,109 mm

Antwort

δ = 4,109 mm

12.Durchbiegung

Antwort: I_req = 9 × 10⁶ mm⁴

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·4000⁴/(384·200000·11,11) = 9 × 10⁶ mm⁴

I_req = 9 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_req = 9 × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 2,12 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Knicklänge

KL = 2·5000 = 10000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/10000² = 2120 N = 2,12 kN

Antwort

P_cr = 2,12 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 7,676 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Antwort

σ_cr = 7,676 MPa

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