Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Messing, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 80 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 40 kNAbschnitt 1: Ø35 mm, 0,5 m, Aluminium (E = 70 GPa)Abschnitt 2: Ø12 mm, 0,5 m, Kupfer (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Messing ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 100 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Messing mit 25 mm Durchmesser ist an beiden Enden A und B in starren Wänden eingespannt. In C, 1,5 m von A und 0,5 m von B entfernt, wird ein Drehmoment von 1000 N·m aufgebracht. Bestimme das Einspannmoment T_A an der Wand A.

d = 25 mmT₀ = 1000 N·ma = 1,5 mb = 0,5 m

T_A = N·m

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

25 kN @ 4 m4 kN/m, 4–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Einfeldträger trägt auf einem Teil seiner Spannweite eine Gleichstreckenlast. Bestimme das maximale Biegemoment M_max im Balken.

L = 6 mw = 12 kN/m von 3 bis 5 m

M_max = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein U-Profil liegt mit der offenen Seite nach oben: eine Bodenplatte von 140 mm Breite mit zwei senkrechten Schenkeln, insgesamt 190 mm hoch. Boden und Schenkel sind alle 10 mm dick. Bestimme die Höhe ȳ des Schwerpunkts über der Unterkante.

b = 140 mmh = 190 mmt = 10 mm

ȳ = mm

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein geschweißter I-Querschnitt hat einen Obergurt 120 × 20 mm, einen Steg mit 180 mm Höhe und 16 mm Dicke sowie einen Untergurt 290 × 10 mm (Breite × Dicke). Bestimme sein Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse x durch seinen Schwerpunkt.

Obergurt: 120 × 20 mmSteg: 16 × 180 mmUntergurt: 290 × 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −60 MPa, σᵧ = 120 MPa und τₓᵧ = 40 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_p von der x-Achse zur Richtung der größten Hauptspannung, zwischen −90° und 90°.

σ_x = −60 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 100 MPa, σᵧ = 80 MPa und τₓᵧ = −20 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 35° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = 100 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 10 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (Stahl)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand b = 1,5 m vom Auflager B. Bestimme die Durchbiegung δ_mid in Feldmitte.

P = 17 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 200 GPa (Stahl)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Sie muss 145 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 145 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 1132 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 80·1000/706,9 = 113,2 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 113,2/100000 = 0,001132 = 1132 µε

Antwort

ε = 1132 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 1,808 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 41,58 MPa

σ₂ = 353,7 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 41,58·500/70000 = 0,297 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 353,7·500/117000 = 1,511 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,808 mm

Antwort

δ = 1,808 mm

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 0,8768 °

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(39000·251327) = 0,0153 rad

φ = 0,0153·180/π = 0,8768°

Antwort

φ = 0,8768°

4.Torsion von Wellen

Antwort: T_A = 250 N·m

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen. Sind beide Enden eingespannt, liefert die Statik allein nur T_A + T_B = T₀; die zweite Gleichung ist die Verträglichkeit (gleiche Verdrehung beider Teile am belasteten Querschnitt).

Gleichgewicht und Verträglichkeit

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·0,5/2 = 250 N·m

T_B = 1000·1,5/2 = 750 N·m

Antwort

T_A = 250 N·m

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: C (x = 4 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 24,67 kN, R₂ = 16,33 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 49,33, M_C = 98,67 kN·m, M_D = 90, M_E = 65,33, M_F = 32,67, M_G = 0

Antwort

Markierung C: M_C = 98,67 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_max = 26,67 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·2·4

R_B = 96/6 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 16 = 8 kN

Querkraftnullstelle

Die Querkraft beginnt bei R_A, bleibt über unbelastete Abschnitte konstant und fällt innerhalb der Last mit der Steigung w.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 8/12 = 3,667 m

Maximales Moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 3)²/2 = 8·3,667 − 12·0,6667²/2 = 26,67 kN·m

Antwort

M_max = 26,67 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: ȳ = 73,4 mm

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In Rechtecke aufteilen

Nimm den Boden über die ganze Breite und die beiden Schenkel darüber (Höhe h − t), damit nichts doppelt gezählt wird.

Grundlage: A₁ = 140·10 = 1400 mm², y₁ = 5 mm

zwei Schenkel: A₂ = 2·10·180 = 3600 mm², y₂ = 10 + 180/2 = 100 mm

Schwerpunkt

ȳ = (1400·5 + 3600·100)/5000 = 73,4 mm

Antwort

ȳ = 73,4 mm

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 57,9 × 10⁶ mm⁴

In drei Rechtecke aufteilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Obergurt: A = 2400 mm², y = 200 mm

Steg: A = 2880 mm², y = 100 mm

Untergurt: A = 2900 mm², y = 5 mm

Schwerpunkt

ȳ = (2400·200 + 2880·100 + 2900·5)/8180 = 95,66 mm

Satz von Steiner

Obergurt: 120·20³/12 + 2400·104,3² = 2,621 × 10⁷ mm⁴

Steg: 16·180³/12 + 2880·4,34² = 7,83 × 10⁶ mm⁴

Untergurt: 290·10³/12 + 2900·90,66² = 2,386 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,621 × 10⁷ + 7,83 × 10⁶ + 2,386 × 10⁷

I_x = 5,79 × 10⁷ mm⁴ = 57,9 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 57,9 × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_p = 78,02 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Punkt x liegt im Mohrschen Kreis unter dem Winkel 2θp zur σ-Achse; der Quadrant ergibt sich aus den Vorzeichen von σₓ − σᵧ und τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·40, −60 − 120) = 156°

Winkel am Element

θ_p = 78,02°

Antwort

θ_p = 78,02°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = 74,63 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = 90 + 10·0,342 + −20·0,9397 = 74,63 MPa

Antwort

σ_θ = 74,63 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 31,75 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·8000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 31,75 mm

Antwort

δ_max = 31,75 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_mid = 2,878 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 17000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung in Feldmitte

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 17000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·7,2 × 10¹²) = 2,878 mm

Antwort

δ_mid = 2,878 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 7,996 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Knicklänge

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/3000² = 7996 N = 7,996 kN

Antwort

P_cr = 7,996 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 72,78 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 3·145000 = 435000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 72,78 mm

Antwort

d = 72,78 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 137,4, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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