Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Messing, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 12 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 55 kNAbschnitt 1: Ø30 mm, 1,5 m, Aluminium (E = 70 GPa)Abschnitt 2: Ø12 mm, 2 m, Messing (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsion von WellenMittel

In einem Torsionsversuch wird eine Vollprobe mit 12 mm Durchmesser durch ein Drehmoment von 30 N·m verdreht. Die beiden Enden einer Messlänge von 400 mm verdrehen sich um 4,22° gegeneinander (der Werkstoff ist noch elastisch). Bestimme den Schubmodul G des Werkstoffs.

T = 30 N·md = 12 mmL = 400 mmφ = 4,22°

G = GPa

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle soll 30 kW bei 3000 rpm übertragen. Ihr Innendurchmesser soll das 0,6-Fache ihres Außendurchmessers betragen, und die Schubspannung darf 80 MPa nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Außendurchmesser d_o.

P = 30 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

45 kN @ 5 m60 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Einfeldträger trägt auf einem Teil seiner Spannweite eine Gleichstreckenlast. Bestimme den Abstand x₀ von A bis zu dem Schnitt, in dem das Biegemoment am größten ist.

L = 8 mw = 20 kN/m von 0 bis 6 m

x₀ = m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein Kreisrohr hat den Außendurchmesser D = 240 mm und den Innendurchmesser d = 224 mm. Bestimme seinen Trägheitsradius r um die horizontale Schwerachse.

D = 240 mmd = 224 mm

r = mm

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein Gusseisenträger hat den dargestellten T-Querschnitt mit dem Flansch oben. Die zulässigen Spannungen betragen 30 MPa auf Zug und 120 MPa auf Druck. Bestimme das größte negative Biegemoment M_allow, das der Träger aufnehmen kann (gib seinen Betrag an).

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 300 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = 110 MPa, σᵧ = −20 MPa und τₓᵧ = 20 MPa, mit σ_z = 0. Bestimme die absolut größte Schubspannung τ_abs im Punkt (unter Berücksichtigung aller Ebenen im Raum).

σ_x = 110 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein dünnwandiger zylindrischer Behälter mit 1200 mm Innendurchmesser und 8 mm Wanddicke enthält Gas mit einem Überdruck von 3 MPa. Er ist aus Blech gefertigt, das entlang einer schraubenförmigen Naht unter 60° zur Zylinderachse verschweißt ist. Bestimme den Betrag der Schubspannung |τ_n|, die entlang der Schweißnaht wirkt.

D = 1200 mmt = 8 mmp = 3 MPaα = 60°

|τ_n| = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und an seinem freien Ende eine Einzellast P. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ am freien Ende.

P = 6 kNw = 4 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (Stahl)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

P = 21 kNw = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (Holz)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (Stahl)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 8400 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 95·1000/113,1 = 840 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 840/100000 = 0,0084 = 8400 µε

Antwort

ε = 8400 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 11,39 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 77,81 MPa

σ₂ = 486,3 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 77,81·1500/70000 = 1,667 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 486,3·2000/100000 = 9,726 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 11,39 mm

Antwort

δ = 11,39 mm

3.Torsion von Wellen

Antwort: G = 80,03 GPa

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment und Winkel

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 4,22·π/180 = 0,07365 rad

Schubmodul

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·400/(2036·0,07365) = 80033 MPa

G = 80,03 GPa

Antwort

G = 80,03 GPa

Zum Vergleich: Stahl ≈ 80 GPa, Messing ≈ 39 GPa, Aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion von Wellen

Antwort: d_o = 19,12 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 30000/314,2 = 95,49 N·m

Außendurchmesser aus der zulässigen Spannung

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·95493/(π·80·0,8704)) = 19,12 mm

d_i = 0,6·19,12 = 11,47 mm

Antwort

d_o = 19,12 mm

Eine Vollwelle bräuchte d = 18,25 mm; die Hohlwelle ist etwas größer, aber viel leichter.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 4 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 27,5 kN, R₂ = 77,5 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 27,5, M_C = 55, M_D = 82,5, M_E = 110 kN·m, M_F = 77,5, M_G = 0

Antwort

Markierung E: M_E = 110 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: x₀ = 3,75 m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 20·6 = 120 kN, angreifend bei x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·6·3

R_B = 360/8 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 45 = 75 kN

Querkraftnullstelle

Die Querkraft beginnt bei R_A, bleibt über unbelastete Abschnitte konstant und fällt innerhalb der Last mit der Steigung w.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 75/20 = 3,75 m

Antwort

x₀ = 3,75 m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: r = 82,07 mm

Flächenträgheitsmoment: Für ein Rechteck gilt um seine eigene Schwerachse I = bh³/12 und um seine Grundlinie bh³/3 (Satz von Steiner I = I_c + A·d²). Ein Loch wird berücksichtigt, indem man sein I abzieht, solange beide Teile dieselbe Achse haben. Das elastische Widerstandsmoment ist S = I/c, wobei c der Abstand zur Randfaser ist. Der Trägheitsradius r = √(I/A) ist der Abstand, in dem die ganze Fläche dasselbe I ergäbe; er wird beim Knicken von Stützen verwendet.

Nettofläche und Netto-Flächenträgheitsmoment

A = π(D² − d²)/4 = 5831 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3,928 × 10⁷ mm⁴

Trägheitsradius

r = √(I/A) = √(3,928 × 10⁷/5831) = 82,07 mm

Antwort

r = 82,07 mm

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: M_allow = 13,47 kN·m

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

Schwerpunkt

ȳ = (1500·307,5 + 3600·150)/5100 = 196,3 mm

Oberkante: c = 315 − 196,3 = 118,7 mm

Flächenträgheitsmoment

I = 100·15³/12 + 1500·111,2² + 12·300³/12 + 3600·46,32² = 5,329 × 10⁷ mm⁴

Von jedem Rand zugelassenes Moment

Negatives Moment: oben Zug, unten Druck.

Oberkante: M = 30·5,329 × 10⁷/118,7 = 13,47 kN·m

Unterkante: M = 120·5,329 × 10⁷/196,3 = 32,57 kN·m

Maßgebender Wert

M_allow = min = 13,47 kN·m (Oberkante)

Antwort

M_allow = 13,47 kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_abs = 68,01 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Im Raum ist die absolut größte Schubspannung (σ_max − σ_min)/2 über alle drei Hauptspannungen; im ebenen Spannungszustand ist die dritte null.

Hauptspannungen in der Ebene

C = 45 MPa, R = √(65² + 20²) = 68,01 MPa

σ₁ = 113 MPa, σ₂ = −23,01 MPa, σ_z = 0

Größter der drei Kreise

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(136, 113, 23,01)/2 = 68,01 MPa

Antwort

τ_abs = 68,01 MPa

Hier haben σ₁ und σ₂ entgegengesetzte Vorzeichen, das Maximum R in der Ebene ist also auch das absolute Maximum.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: |τ_n| = 48,71 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Dünnwandiger Zylinder: Umfangsspannung σ_h = pr/t und Längsspannung σ_a = pr/(2t); das sind die Hauptspannungen in der Wand.

Spannungen in der Wand

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 3·600/8 = 225 MPa

σ_a = pr/(2t) = 112,5 MPa

Auf die Naht transformieren

Lege x entlang der Achse (σ_a) und y in Umfangsrichtung (σ_h). Die Normale der Naht bildet mit der Achse den Winkel 90° − α.

|τ_n| = (225 − 112,5)·sin 60°·cos 60° = 48,71 MPa

Antwort

|τ_n| = 48,71 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ = 3,333 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 6000 N, w = 4 N/mm, L = 2000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(3EI) = 6000·2000³/(3·7,2 × 10¹²) = 2,222 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·2000⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 1,111 mm

Addieren

δ = 2,222 + 1,111 = 3,333 mm

Antwort

δ = 3,333 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 4,915 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 21000 N, w = 5 N/mm, L = 2000 mm, EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(48EI) = 21000·2000³/(48·9,24 × 10¹¹) = 3,788 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 1,127 mm

Addieren

δ_max = 3,788 + 1,127 = 4,915 mm

Antwort

δ_max = 4,915 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 228,5 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Knicklänge

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/3000² = 228463 N = 228,5 kN

Antwort

P_cr = 228,5 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 34,27 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/12,5 = 240

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34,27 MPa

Antwort

σ_cr = 34,27 MPa

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