Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung
σ = F/A
Dehnung
ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz
σ = E·ε
Verlängerung
ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung
εT = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung
τ = T·r/J
Vollwelle
J = πd⁴/32
Hohlwelle
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel
φ = TL/(GJ)
Leistung
P = T·ω = 2πnT/60

Methode

  1. Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
  2. Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
  3. Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
  4. Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
  3. Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
  4. Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechteck
I = bh³/12
Satz von Steiner
I = Ic + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt
C = (σx + σy)/2
Radius
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hauptspannungen
σ1,2 = C ± R
Hauptrichtung
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Geneigter Schnitt
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Methode

  1. Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
  2. Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
  4. Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte
δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast
δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast
δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz
δ = δ1 + δ2

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert
K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung
σcr = Pcr/A
Schlankheit
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel
Ø 12 mmMessing2 mP = 45 kN

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Messing, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 12 mmL = 2 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Normalspannung und DehnungSchwer
80 kN12400 mm400 mmØ20Ø30σ2​ = ?

Ein Segment aus Stahl (Durchmesser 20 mm, Länge 400 mm, E = 200 GPa) und ein Segment aus Bronze (Durchmesser 30 mm, Länge 400 mm, E = 110 GPa) sind stumpf verbunden und zwischen zwei starren Wänden eingespannt. Am Übergang wirkt eine axiale Last von 80 kN in Richtung Segment 2. Bestimme den Betrag der Spannung σ2 in Segment 2.

Segment 1: Stahl, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaSegment 2: Bronze, Ø30 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
3.Torsion von WellenMittel
do​ = ?T = 500 N·m

Eine Hohlwelle soll ein Drehmoment von 500 N·m übertragen. Ihr Innendurchmesser soll das 0,8-Fache ihres Außendurchmessers betragen, und die Schubspannung darf 75 MPa nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Außendurchmesser do.

T = 500 N·mdi/do = 0,8τallow = 75 MPa
do = mm
4.Torsion von WellenSchwer
d = 30 mmTB​ = 250 N·mTC​ = 500 N·mABC1 m0,5 m

Eine Vollwelle aus Messing mit 30 mm Durchmesser ist in A eingespannt. In B, 1 m von A entfernt, wirkt ein Drehmoment von 250 N·m, und am freien Ende C, weitere 0,5 m entfernt, wirkt ein Drehmoment von 500 N·m im gleichen Drehsinn. Bestimme die maximale Schubspannung τmax in der Welle.

d = 30 mmTB = 250 N·mTC = 500 N·mAB = 1 mBC = 0,5 m
τmax = MPa
5.Querkraft und BiegemomentMittel
P1​ = 65 kNP2​ = 20 kNABC1,5 m4,5 m1 m

Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 1 m bis zum freien Ende C aus. Er trägt eine Einzellast P1 zwischen den Auflagern und eine Einzellast P2 in C. Bestimme das Biegemoment MB am Auflager B. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 7 mP1 = 65 kN bei 1,5 mP2 = 20 kN bei 7 mAuflager bei x = 0 und x = 6 m
MB = kN·m
6.Querkraft und BiegemomentSchwer
w = 6 kN/mP = 65 kNAB2 m8 m

Der Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P. Bestimme das maximale Biegemoment Mmax im Balken.

L = 10 mP = 65 kN bei 2 mw = 6 kN/m von 0 bis 10 m
Mmax = kN·m
7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel
100 mm300 mm120 mmØ50xIx​ = ?

Eine Platte von 100 mm × 300 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 50 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 120 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 100 mmh = 300 mmd = 50 mmLochmittelpunkt: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer
1104602010xM = 150 kN·mMaße in mm

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 110 mm Breite und 20 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 460 mm und einen Steg mit 10 mm Dicke. Er überträgt ein Biegemoment von 150 kN·m um die Achse x. Bestimme den Betrag der Biegespannung σj am Übergang vom Steg zum Obergurt.

B = 110 mmH = 460 mmtf = 20 mmtw = 10 mmM = 150 kN·m
σj = MPa
9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel
σx​ = 100σy​ = −50τxy​ = 30MPa

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = 100 MPa, σᵧ = −50 MPa und τₓᵧ = 30 MPa, mit σz = 0. Bestimme die absolut größte Schubspannung τabs im Punkt (unter Berücksichtigung aller Ebenen im Raum).

σx = 100 MPaσy = −50 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer
35°D = 1200 mm, t = 5 mm, p = 2 MPap

Ein dünnwandiger zylindrischer Behälter mit 1200 mm Innendurchmesser und 5 mm Wanddicke enthält Gas mit einem Überdruck von 2 MPa. Er ist aus Blech gefertigt, das entlang einer schraubenförmigen Naht unter 35° zur Zylinderachse verschweißt ist. Bestimme die Normalspannung σn, die quer zur Schweißnaht wirkt.

D = 1200 mmt = 5 mmp = 2 MPaα = 35°
σn = MPa
11.DurchbiegungMittel
w = 12 kN/mδL = 5 m

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Durchbiegung δ am freien Ende.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (Stahl)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.DurchbiegungSchwer
w = 12 kN/mP = 4 kNδL = 2,5 m

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δmax in Feldmitte.

P = 4 kNw = 12 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Knicken von StützenMittel
PL = 2 m50 × 60 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
14.Knicken von StützenSchwer
P = 25 kNL = 2 md = ?Querschnitt

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Sie muss 25 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 25 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (Aluminium)
d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 3979 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 45·1000/113,1 = 397,9 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 397,9/100000 = 0,003979 = 3979 µε

Antwort

ε = 3979 µε
2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ2 = 62,6 MPa

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, Pi = P·EiAi/ΣEA, und σi = Ei·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Steifigkeiten

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm
k₂ = 110000·706,9/400 = 194386 N/mm

Anteil von Segment 2

F2 = 80000·194386/351466 = 44246 N

Spannung

σ2 = 44246/706,9 = 62,6 MPa (Druck)

Antwort

σ2 = 62,6 MPa
3.Torsion von Wellen

Antwort: do = 38,6 mm

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τmax = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Außendurchmesser aus der zulässigen Spannung

T = 500 N·m = 500000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·75·0,5904)) = 38,6 mm
di = 0,8·38,6 = 30,88 mm

Antwort

do = 38,6 mm

Eine Vollwelle bräuchte d = 32,38 mm; die Hohlwelle ist etwas größer, aber viel leichter.

4.Torsion von Wellen

Antwort: τmax = 141,5 MPa

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τmax = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Innere Drehmomente

Drehsinn von TC als positiv angenommen.

TBC = TC = 500 N·m
TAB = TC + TB = 500 + 250 = 750 N·m

Maximale Schubspannung

Der Abschnitt mit dem größten inneren Drehmoment hat die größte Spannung (gleicher Durchmesser).

|T|max = 750 N·m
τmax = 16·750000/(π·30³) = 141,5 MPa

Antwort

τmax = 141,5 MPa
5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: MB = −20 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht am ganzen Balken. Auch die Last am Kragende wirkt um A.

ΣMA = 0: RB·6 = 65·1,5 + 20·7
RB = 237,5/6 = 39,58 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 39,58 = 45,42 kN

Schnitt bei B, Kragarm behalten

Auf den Kragarm wirkt nur P2 mit dem Hebelarm a. Sie biegt den Balken über dem Auflager nach oben (negatives Moment).

MB = −P2·a = −20·1 = −20 kN·m

Antwort

MB = −20 kN·m
6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: Mmax = 154,1 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, angreifend bei x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 65·2 + 6·10·5
RB = 430/10 = 43 kN
ΣFy = 0: RA = 125 − 43 = 82 kN

Wo ist V = 0?

RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (82 − 65)/6 = 2,833 m

Maximales Moment

Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 2) − w·x0²/2 = 154,1 kN·m

Antwort

Mmax = 154,1 kN·m

Es tritt bei x = 2,833 m von A auf.

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: Ix = 222,8 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat Ic = bh³/12 und ein Kreis Ic = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (30000·150 − 1963·120)/(30000 − 1963) = 152,1 mm

Volle Platte um ȳ

100·300³/12 + 30000·−2,101² = 225,1 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−32,1² = 2,33 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

Ix = 222,8 × 10⁶ mm⁴

Antwort

Ix = 222,8 × 10⁶ mm⁴
8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σj = 114,6 MPa

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − tw) breit und hw = H − 2tf hoch und haben die Achse x gemeinsam.

hw = 460 − 2·20 = 420 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (110·460³ − 100·420³)/12
Ix = 2,748 × 10⁸ mm⁴

Biegespannung

y = 230 − 20 = 210 mm
σ = M·y/I = 1,5 × 10⁸·210/2,748 × 10⁸ = 114,6 MPa

Antwort

σj = 114,6 MPa
9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τabs = 80,78 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Im Raum ist die absolut größte Schubspannung (σmax − σmin)/2 über alle drei Hauptspannungen; im ebenen Spannungszustand ist die dritte null.

στxyCσ1​σ2​

Hauptspannungen in der Ebene

C = 25 MPa, R = √(75² + 30²) = 80,78 MPa
σ1 = 105,8 MPa, σ2 = −55,78 MPa, σz = 0

Größter der drei Kreise

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(161,6, 105,8, 55,78)/2 = 80,78 MPa

Antwort

τabs = 80,78 MPa

Hier haben σ₁ und σ₂ entgegengesetzte Vorzeichen, das Maximum R in der Ebene ist also auch das absolute Maximum.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σn = 200,5 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Dünnwandiger Zylinder: Umfangsspannung σh = pr/t und Längsspannung σa = pr/(2t); das sind die Hauptspannungen in der Wand.

Spannungen in der Wand

r = 1200/2 = 600 mm
σh = pr/t = 2·600/5 = 240 MPa
σa = pr/(2t) = 120 MPa

Auf die Naht transformieren

Lege x entlang der Achse (σa) und y in Umfangsrichtung (σh). Die Normale der Naht bildet mit der Achse den Winkel 90° − α.

σn = 120·sin²35° + 240·cos²35° = 200,5 MPa

Antwort

σn = 200,5 MPa
11.Durchbiegung

Antwort: δ = 39,06 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 5000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Durchbiegung

δ = wL⁴/(8EI) = 12·5000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 39,06 mm

Antwort

δ = 39,06 mm
12.Durchbiegung

Antwort: δmax = 2,939 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 4000 N, w = 12 N/mm, L = 2500 mm, EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Jede Last für sich

δP = PL³/(48EI) = 4000·2500³/(48·2,52 × 10¹²) = 0,5167 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 2,422 mm

Addieren

δmax = 0,5167 + 2,422 = 2,939 mm

Antwort

δmax = 2,939 mm
13.Knicken von Stützen

Antwort: Pcr = 220,3 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritische Last

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/1400² = 220304 N = 220,3 kN

Antwort

Pcr = 220,3 kN
14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 41,23 mm

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Erforderliche kritische Last

Pcr = n·P = 2·25000 = 50000 N
KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 41,23 mm

Antwort

d = 41,23 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 135,8, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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