Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Messing unter der axialen Last.

P = 65 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 40 kNAbschnitt 1: Ø35 mm, 1,5 m, Kupfer (E = 117 GPa)Abschnitt 2: Ø20 mm, 2 m, Aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Stahl ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 100 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle überträgt 20 kW bei 1800 U/min. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

P = 20 kWN = 1800 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Der Kragarm ist in A eingespannt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P im Abstand 2 m von A. Bestimme das Biegemoment M_A an der Einspannung A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 3 mP = 55 kN bei 2 mw = 2 kN/m von 0 bis 3 m

M_A = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P. Bestimme das maximale Biegemoment M_max im Balken.

L = 4 mP = 60 kN bei 3 mw = 5 kN/m von 0 bis 4 m

M_max = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein rechteckiger Hohlquerschnitt (Kastenquerschnitt) hat die Außenbreite B = 300 mm, die Außenhöhe H = 350 mm und eine gleichmäßige Wanddicke t = 12 mm. Bestimme seinen Trägheitsradius r um die horizontale Schwerachse.

B = 300 mmH = 350 mmt = 12 mm

r = mm

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 40 kN·m. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_oben an der Oberkante.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 260 mmM = 40 kN·m

σ_oben = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 90 MPa, σᵧ = 90 MPa und τₓᵧ = −10 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

σ_x = 90 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein dünnwandiger zylindrischer Behälter mit 500 mm Innendurchmesser und 8 mm Wanddicke enthält Gas mit einem Überdruck von 2,5 MPa. Er ist aus Blech gefertigt, das entlang einer schraubenförmigen Naht unter 35° zur Zylinderachse verschweißt ist. Bestimme den Betrag der Schubspannung |τ_n|, die entlang der Schweißnaht wirkt.

D = 500 mmt = 8 mmp = 2,5 MPaα = 35°

|τ_n| = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 3 m von A. Bestimme die Durchbiegung δ_P unter der Last.

P = 9 kNa = 3 mL = 4 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Holzbalken als Einfeldträger mit Rechteckquerschnitt, 100 mm breit, trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung in Feldmitte darf Spannweite/300 nicht überschreiten. Bestimme die kleinste Querschnittshöhe h_req.

w = 1,5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (Holz)b = 100 mm

h_req = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (Stahl)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 14,37 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 65·1000/113,1 = 574,7 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 574,7/100000 = 0,005747 = 5747 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,005747·2500 mm = 14,37 mm

Antwort

δ = 14,37 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 127,3 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 41,58 MPa

σ₂ = 127,3 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 127,3 MPa

Antwort

σ_max = 127,3 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 2,241 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(80000·38350) = 0,03911 rad

φ = 0,03911·180/π = 2,241°

Antwort

φ = 2,241°

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 4,967 MPa

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Maximale Schubspannung

τ_max = T·(d_o/2)/J = 106103·25/534071 = 4,967 MPa

Antwort

τ_max = 4,967 MPa

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_A = −119 kN·m

Den Teil mit dem freien Ende behalten

P: −55·2 = −110 kN·m

w: −2·3²/2 = −9 kN·m

M_A = −110 − 9 = −119 kN·m

Antwort

M_A = −119 kN·m

Negativ bedeutet Zug an der Oberseite.

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_max = 52,5 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, angreifend bei x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·3 + 5·4·2

R_B = 220/4 = 55 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 55 = 25 kN

Wo ist V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 10 kN

V(3⁺) = 10 − 60 = −50 kN

Die Querkraft wechselt an der Last das Vorzeichen, das Maximum liegt also unter der Last.

Maximales Moment

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 25·3 − 5·3²/2 = 52,5 kN·m

Antwort

M_max = 52,5 kN·m

Es tritt bei x = 3 m von A auf.

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: r = 135,3 mm

Flächenträgheitsmoment: Für ein Rechteck gilt um seine eigene Schwerachse I = bh³/12 und um seine Grundlinie bh³/3 (Satz von Steiner I = I_c + A·d²). Ein Loch wird berücksichtigt, indem man sein I abzieht, solange beide Teile dieselbe Achse haben. Das elastische Widerstandsmoment ist S = I/c, wobei c der Abstand zur Randfaser ist. Der Trägheitsradius r = √(I/A) ist der Abstand, in dem die ganze Fläche dasselbe I ergäbe; er wird beim Knicken von Stützen verwendet.

Nettofläche und Netto-Flächenträgheitsmoment

b = 276 mm, h = 326 mm

A = BH − bh = 300·350 − 276·326 = 15024 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 2,75 × 10⁸ mm⁴

Trägheitsradius

r = √(I/A) = √(2,75 × 10⁸/15024) = 135,3 mm

Antwort

r = 135,3 mm

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_oben = 89,79 MPa

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

Steg: A_w = 14·260 = 3640 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·265 + 3640·130)/5440 = 174,7 mm

Satz von Steiner

Flansch: 180·10³/12 + 1800·(265 − 174,7)² = 1,47 × 10⁷ mm⁴

Steg: 14·260³/12 + 3640·(130 − 174,7)² = 2,777 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,47 × 10⁷ + 2,777 × 10⁷ = 4,247 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

Die Oberkante liegt h − ȳ von der Achse entfernt.

y = 270 − 174,7 = 95,33 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·95,33/4,247 × 10⁷ = 89,79 MPa

Antwort

σ_oben = 89,79 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 10 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Radius des Mohrschen Kreises

τ_max = R = √(((90 − 90)/2)² + −10²) = 10 MPa

Antwort

τ_max = 10 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: |τ_n| = 18,35 MPa

Spannungen in der Wand

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 2,5·250/8 = 78,13 MPa

σ_a = pr/(2t) = 39,06 MPa

Auf die Naht transformieren

Lege x entlang der Achse (σ_a) und y in Umfangsrichtung (σ_h). Die Normale der Naht bildet mit der Achse den Winkel 90° − α.

|τ_n| = (78,13 − 39,06)·sin 35°·cos 35° = 18,35 MPa

Antwort

|τ_n| = 18,35 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_P = 20,3 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 9000 N, a = 3000 mm, L = 4000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δ_P = Pa³/(3EI) = 9000·3000³/(3·3,99 × 10¹²) = 20,3 mm

Antwort

δ_P = 20,3 mm

12.Durchbiegung

Antwort: h_req = 159,9 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/300 = 4000/300 = 13,33 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·4000⁴/(384·11000·13,33) = 3,409 × 10⁷ mm⁴

Erforderliche Höhe

bh³/12 = I_req → h = (12·3,409 × 10⁷/100)^1/3 = 159,9 mm

Antwort

h_req = 159,9 mm

In der Praxis wählt man die nächste Standardhöhe über diesem Wert.

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 84,22 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/2500² = 84221 N = 84,22 kN

Antwort

P_cr = 84,22 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 39,34 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/12,5 = 224

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/224² = 39,34 MPa

Antwort

σ_cr = 39,34 MPa

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