Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Aluminium unter der axialen Last.

P = 40 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 95 kNAbschnitt 1: Ø25 mm, 2 m, Messing (E = 100 GPa)Abschnitt 2: Ø20 mm, 0,5 m, Messing (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Messing ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 100 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle soll 100 kW bei 1500 rpm übertragen. Ihr Innendurchmesser soll das 0,75-Fache ihres Außendurchmessers betragen, und die Schubspannung darf 40 MPa nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Außendurchmesser d_o.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 3,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 10 mw = 2 kN/m von 0 bis 10 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

40 kN @ 12 m40 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein geschweißter I-Querschnitt hat einen Obergurt 140 × 20 mm, einen Steg mit 190 mm Höhe und 14 mm Dicke sowie einen Untergurt 260 × 12 mm (Breite × Dicke). Bestimme sein Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse x durch seinen Schwerpunkt.

Obergurt: 140 × 20 mmSteg: 14 × 190 mmUntergurt: 260 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 130 MPa, σᵧ = 0 MPa und τₓᵧ = 30 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 40 MPa, σᵧ = −50 MPa und τₓᵧ = −50 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 20° im Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = 40 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 1,5 m von A. Bestimme die Durchbiegung δ_B am freien Ende B.

P = 21 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 200 GPa (Stahl)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

P = 4 kNw = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (Stahl)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (Stahl)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 10,91 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 40·1000/78,54 = 509,3 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 509,3/70000 = 0,007276 = 7276 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,007276·1500 mm = 10,91 mm

Antwort

δ = 10,91 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 302,4 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 193,5 MPa

σ₂ = 302,4 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 302,4 MPa

Antwort

σ_max = 302,4 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 1,915 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(39000·38350) = 0,03343 rad

φ = 0,03343·180/π = 1,915°

Antwort

φ = 1,915°

4.Torsion von Wellen

Antwort: d_o = 49,13 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Außendurchmesser aus der zulässigen Spannung

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·636620/(π·40·0,6836)) = 49,13 mm

d_i = 0,75·49,13 = 36,85 mm

Antwort

d_o = 49,13 mm

Eine Vollwelle bräuchte d = 43,28 mm; die Hohlwelle ist etwas größer, aber viel leichter.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 22,75 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, angreifend bei x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 2·10·5

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Schnitt bei x = 3,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 10·3,5 − 2·3,5·1,75 = 22,75 kN·m

Antwort

M_x = 22,75 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 8 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 10 kN, R₂ = 70 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 20, M_C = −40, M_D = −100, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

Antwort

Markierung E: M_E = −160 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 16,51 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152,5 mm

Steg: A_w = 18·140 = 2520 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·152,5 + 2520·70)/8520 = 128,1 mm

Satz von Steiner

Flansch: 240·25³/12 + 6000·(152,5 − 128,1)² = 3,885 × 10⁶ mm⁴

Steg: 18·140³/12 + 2520·(70 − 128,1)² = 1,262 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,885 × 10⁶ + 1,262 × 10⁷ = 1,651 × 10⁷ mm⁴ = 16,51 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 16,51 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 70,78 × 10⁶ mm⁴

In drei Rechtecke aufteilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Obergurt: A = 2800 mm², y = 212 mm

Steg: A = 2660 mm², y = 107 mm

Untergurt: A = 3120 mm², y = 6 mm

Schwerpunkt

ȳ = (2800·212 + 2660·107 + 3120·6)/8580 = 104,5 mm

Satz von Steiner

Obergurt: 140·20³/12 + 2800·107,5² = 3,243 × 10⁷ mm⁴

Steg: 14·190³/12 + 2660·2,462² = 8,018 × 10⁶ mm⁴

Untergurt: 260·12³/12 + 3120·98,54² = 3,033 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,243 × 10⁷ + 8,018 × 10⁶ + 3,033 × 10⁷

I_x = 7,078 × 10⁷ mm⁴ = 70,78 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 70,78 × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 71,59 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Radius des Mohrschen Kreises

τ_max = R = √(((130 − 0)/2)² + 30²) = 71,59 MPa

Antwort

τ_max = 71,59 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = 61,61 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = −5 + 45·0,766 + −50·−0,6428 = 61,61 MPa

Antwort

σ_θ = 61,61 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_B = 7,704 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 21000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung am freien Ende

Durchbiegung an der Last plus Neigung an der Last mal Restlänge.

δ_P = Pa³/(3EI) = 5,136 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,005136 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 7,704 mm

Antwort

δ_B = 7,704 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 2,782 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 4000 N, w = 10 N/mm, L = 3000 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·3000³/(48·4,6 × 10¹²) = 0,4891 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 2,293 mm

Addieren

δ_max = 0,4891 + 2,293 = 2,782 mm

Antwort

δ_max = 2,782 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 32,64 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/1050² = 32638 N = 32,64 kN

Antwort

P_cr = 32,64 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 69,94 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/12,5 = 168

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/168² = 69,94 MPa

Antwort

σ_cr = 69,94 MPa

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