Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung
σ = F/A
Dehnung
ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz
σ = E·ε
Verlängerung
ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung
εT = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung
τ = T·r/J
Vollwelle
J = πd⁴/32
Hohlwelle
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel
φ = TL/(GJ)
Leistung
P = T·ω = 2πnT/60

Methode

  1. Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
  2. Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
  3. Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
  4. Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
  3. Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
  4. Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechteck
I = bh³/12
Satz von Steiner
I = Ic + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt
C = (σx + σy)/2
Radius
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hauptspannungen
σ1,2 = C ± R
Hauptrichtung
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Geneigter Schnitt
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Methode

  1. Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
  2. Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
  4. Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte
δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast
δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast
δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz
δ = δ1 + δ2

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert
K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung
σcr = Pcr/A
Schlankheit
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel
Ø 30 mmAluminium3 mP = 20 kN

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Aluminium unter der axialen Last.

P = 20 kNd = 30 mmL = 3 mE = 70 GPa
δ = mm
2.Normalspannung und DehnungSchwer
Ø 35 mmAluminium2 mØ 16 mmAluminium1 mP = 15 kN

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 15 kNAbschnitt 1: Ø35 mm, 2 m, Aluminium (E = 70 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 1 m, Aluminium (E = 70 GPa)
δ = mm
3.Torsion von WellenMittel
do​ = 50, di​ = 25 mmT = 750 N·mL = 1 m

Eine Hohlwelle aus Aluminium (Außendurchmesser 50 mm, Innendurchmesser 25 mm, Länge 1 m) ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen durch ein Drehmoment von 750 N·m verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ in Grad.

T = 750 N·mdo = 50 mmdi = 25 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsion von WellenSchwer
d = ?10 kW, 1500 rpm

Eine Vollwelle aus Aluminium überträgt 10 kW bei 1500 rpm. Die Schubspannung darf 60 MPa nicht überschreiten, und die Verdrehung darf 0,25° pro m Länge nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der beide Grenzen einhält.

P = 10 kWN = 1500 rpmτallow = 60 MPaθallow = 0,25°/mG = 26 GPa
d = mm
5.Querkraft und BiegemomentMittel
P1​ = 70 kNP2​ = 70 kNABC2 m4 m1,5 m

Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 1,5 m bis zum freien Ende C aus. Er trägt eine Einzellast P1 zwischen den Auflagern und eine Einzellast P2 in C. Bestimme das Biegemoment MB am Auflager B. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 7,5 mP1 = 70 kN bei 2 mP2 = 70 kN bei 7,5 mAuflager bei x = 0 und x = 6 m
MB = kN·m
6.Querkraft und BiegemomentSchwer
w = 12 kN/mP = 30 kNAB9 m1 m

Der Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P. Bestimme das maximale Biegemoment Mmax im Balken.

L = 10 mP = 30 kN bei 9 mw = 12 kN/m von 0 bis 10 m
Mmax = kN·m
7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel
2002026018xMaße in mm

Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

bf = 200 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer
2401014014xM = 5 kN·mMaße in mm

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 5 kN·m. Bestimme die Biegespannung σunten an der Unterkante.

bf = 240 mmtf = 10 mmtw = 14 mmhw = 140 mmM = 5 kN·m
σunten = MPa
9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel
σx​ = 30σy​ = 20τxy​ = −30MPa

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 30 MPa, σᵧ = 20 MPa und τₓᵧ = −30 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τmax.

σx = 30 MPaσy = 20 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer
σx​τxy​Oberfläche der Welle

Eine Vollwelle mit 20 mm Durchmesser überträgt eine axiale Zugkraft von 50 kN zusammen mit einem Drehmoment von 250 N·m. Bestimme an der Oberfläche der Welle die maximale Schubspannung in der Ebene τmax.

d = 20 mmF = 50 kNT = 250 N·m
τmax = MPa
11.DurchbiegungMittel
P = 16 kNABδ2 m1 m

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 2 m von A. Bestimme die Durchbiegung δP unter der Last.

P = 16 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.DurchbiegungSchwer
w = 10 kN/mδL = 3 m

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment Ireq, das diese Grenze einhält.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (Aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Knicken von StützenMittel
PL = 2 md = 60 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (Stahl)d = 60 mm
Pcr = kN
14.Knicken von StützenSchwer
PL = 2 md = 30 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σcr nach Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (Stahl)d = 30 mm
σcr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 1,213 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 20·1000/706,9 = 28,29 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 28,29/70000 = 0,0004042 = 404,2 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,0004042·3000 mm = 1,213 mm

Antwort

δ = 1,213 mm
2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 1,511 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 15,59 MPa
σ2 = 74,6 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ1 = σ1L1/E1 = 15,59·2000/70000 = 0,4454 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 74,6·1000/70000 = 1,066 mm
δ = δ1 + δ2 = 1,511 mm

Antwort

δ = 1,511 mm
3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 2,873 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τmax = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Verdrehwinkel

T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 750000·1000/(26000·575243) = 0,05015 rad
φ = 0,05015·180/π = 2,873°

Antwort

φ = 2,873°
4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 48,9 mm

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τmax = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Durchmesser aus der Festigkeit

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm
dτ = ∛(16·63662/(π·60)) = 17,55 mm

Durchmesser aus der Steifigkeit

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·63662/(π·26000·4,363 × 10⁻⁶))1/4 = 48,9 mm

Maßgebender Durchmesser

Beide Grenzen müssen eingehalten werden, daher ist der größere Durchmesser maßgebend.

d = max(17,55, 48,9) = 48,9 mm

Antwort

d = 48,9 mm

Hier ist die Steifigkeit maßgebend.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: MB = −105 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht am ganzen Balken. Auch die Last am Kragende wirkt um A.

ΣMA = 0: RB·6 = 70·2 + 70·7,5
RB = 665/6 = 110,8 kN
ΣFy = 0: RA = 140 − 110,8 = 29,17 kN

Schnitt bei B, Kragarm behalten

Auf den Kragarm wirkt nur P2 mit dem Hebelarm a. Sie biegt den Balken über dem Auflager nach oben (negatives Moment).

MB = −P2·a = −70·1,5 = −105 kN·m

Antwort

MB = −105 kN·m
6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: Mmax = 165,4 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, angreifend bei x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·9 + 12·10·5
RB = 870/10 = 87 kN
ΣFy = 0: RA = 150 − 87 = 63 kN

Wo ist V = 0?

RA − w·x0 = 0 → x0 = 63/12 = 5,25 m

Maximales Moment

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 63·5,25 − 12·5,25²/2 = 165,4 kN·m

Antwort

Mmax = 165,4 kN·m

Es tritt bei x = 5,25 m von A auf.

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: Ix = 68,77 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: Af = 200·20 = 4000 mm², yf = 260 + 20/2 = 270 mm
Steg: Aw = 18·260 = 4680 mm², yw = 260/2 = 130 mm

Schwerpunkt

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4000·270 + 4680·130)/8680 = 194,5 mm

Satz von Steiner

Flansch: 200·20³/12 + 4000·(270 − 194,5)² = 2,292 × 10⁷ mm⁴
Steg: 18·260³/12 + 4680·(130 − 194,5)² = 4,584 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,292 × 10⁷ + 4,584 × 10⁷ = 6,877 × 10⁷ mm⁴ = 68,77 × 10⁶ mm⁴

Antwort

Ix = 68,77 × 10⁶ mm⁴
8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σunten = 59,89 MPa

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: Af = 240·10 = 2400 mm², yf = 140 + 10/2 = 145 mm
Steg: Aw = 14·140 = 1960 mm², yw = 140/2 = 70 mm

Schwerpunkt

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·145 + 1960·70)/4360 = 111,3 mm

Satz von Steiner

Flansch: 240·10³/12 + 2400·(145 − 111,3)² = 2,748 × 10⁶ mm⁴
Steg: 14·140³/12 + 1960·(70 − 111,3)² = 6,542 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2,748 × 10⁶ + 6,542 × 10⁶ = 9,29 × 10⁶ mm⁴

Biegespannung

Die Unterkante liegt ȳ von der Achse entfernt.

y = 111,3 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·111,3/9,29 × 10⁶ = 59,89 MPa

Antwort

σunten = 59,89 MPa
9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τmax = 30,41 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

στxyCτmax​

Radius des Mohrschen Kreises

τmax = R = √(((30 − 20)/2)² + −30²) = 30,41 MPa

Antwort

τmax = 30,41 MPa
10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τmax = 177,9 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Spannungen an der Oberfläche

σ = F/A = 50000/(π·20²/4) = 50000/314,2 = 159,2 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·20³) = 159,2 MPa
στxyCτmax​

Mohrscher Spannungskreis

C = σ/2 = 79,58 MPa
R = √(79,58² + 159,2²) = 177,9 MPa

Antwort

τmax = 177,9 MPa
11.Durchbiegung

Antwort: δP = 50,79 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 16000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δP = Pa³/(3EI) = 16000·2000³/(3·8,4 × 10¹¹) = 50,79 mm

Antwort

δP = 50,79 mm
12.Durchbiegung

Antwort: Ireq = 18,08 × 10⁶ mm⁴

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Grenzwert der Durchbiegung

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·3000⁴/(384·70000·8,333) = 1,808 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 18,08 × 10⁶ mm⁴

Antwort

Ireq = 18,08 × 10⁶ mm⁴
13.Knicken von Stützen

Antwort: Pcr = 78,48 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Knicklänge

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritische Last

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4000² = 78485 N = 78,48 kN

Antwort

Pcr = 78,48 kN
14.Knicken von Stützen

Antwort: σcr = 56,65 MPa

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/7,5 = 186,7

Kritische Spannung

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/186,7² = 56,65 MPa

Antwort

σcr = 56,65 MPa

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