Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Aluminium unter der axialen Last.

P = 15 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 55 kNAbschnitt 1: Ø25 mm, 1,5 m, Messing (E = 100 GPa)Abschnitt 2: Ø12 mm, 1 m, Messing (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Aluminium ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 500 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle überträgt 100 kW bei 1000 U/min. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

P = 100 kWN = 1000 rpmd_o = 50 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

60 kN @ 6 m6 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

50 kN @ 0 m10 kN @ 12 m45 kN @ 6 m4 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 50 kN·m. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_oben an der Oberkante.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mmM = 50 kN·m

σ_oben = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = 20 MPa und σᵧ = 30 MPa. Wie groß darf die Schubspannung τ_xy (Betrag) werden, bevor die größte Hauptspannung 40 MPa erreicht?

σ_x = 20 MPaσ_y = 30 MPaσ₁ = 40 MPa

τ_xy = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −30 MPa, σᵧ = 0 MPa und τₓᵧ = 40 MPa (Zug positiv). Bestimme die Schubspannung τ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 50° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist (positiv im selben Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = −30 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Durchbiegung δ am freien Ende.

w = 4 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein einseitig eingespannter Träger ist in A eingespannt und in B gelenkig gestützt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. EI ist konstant. Bestimme den Betrag des Biegemoments M_A an der Einspannung.

L = 8 mw = 15 kN/m

M_A = kN·m

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Sie muss 105 kN mit einer Sicherheit von 2,5 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 105 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 0,7579 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 15·1000/706,9 = 21,22 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 21,22/70000 = 0,0003032 = 303,2 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,0003032·2500 mm = 0,7579 mm

Antwort

δ = 0,7579 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 486,3 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 112 MPa

σ₂ = 486,3 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 486,3 MPa

Antwort

σ_max = 486,3 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 4,489 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(26000·613592) = 0,07835 rad

φ = 0,07835·180/π = 4,489°

Antwort

φ = 4,489°

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 58,39 MPa

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Maximale Schubspannung

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·25/408885 = 58,39 MPa

Antwort

τ_max = 58,39 MPa

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: D (x = 6 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 66 kN, R₂ = 66 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 120, M_C = 216, M_D = 288 kN·m, M_E = 216, M_F = 120, M_G = 0

Antwort

Markierung D: M_D = 288 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: B (x = 2 m)

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 87 kN, R₂ = 42 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = −100 kN·m, M_C = −34, M_D = 16, M_E = −40, M_F = −20, M_G = 0

Antwort

Markierung B: M_B = −100 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 34,47 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

Steg: A_w = 16·240 = 3840 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·245 + 3840·120)/5240 = 153,4 mm

Satz von Steiner

Flansch: 140·10³/12 + 1400·(245 − 153,4)² = 1,176 × 10⁷ mm⁴

Steg: 16·240³/12 + 3840·(120 − 153,4)² = 2,271 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,176 × 10⁷ + 2,271 × 10⁷ = 3,447 × 10⁷ mm⁴ = 34,47 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 34,47 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_oben = 126,4 MPa

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

Steg: A_w = 18·140 = 2520 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·150 + 2520·70)/7320 = 122,5 mm

Satz von Steiner

Flansch: 240·20³/12 + 4800·(150 − 122,5)² = 3,801 × 10⁶ mm⁴

Steg: 18·140³/12 + 2520·(70 − 122,5)² = 1,105 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,801 × 10⁶ + 1,105 × 10⁷ = 1,485 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

Die Oberkante liegt h − ȳ von der Achse entfernt.

y = 160 − 122,5 = 37,54 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·37,54/1,485 × 10⁷ = 126,4 MPa

Antwort

σ_oben = 126,4 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_xy = 14,14 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Erforderlicher Radius

C = (20 + 30)/2 = 25 MPa

R = σ₁ − C = 40 − 25 = 15 MPa

Schubspannung

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(15² − 5²) = 14,14 MPa

Antwort

τ_xy = 14,14 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_θ = 7,826 MPa

Transformationsgleichung

τ_θ = −−15·0,9848 + 40·−0,1736 = 7,826 MPa

Antwort

τ_θ = 7,826 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ = 3,013 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 1500 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Durchbiegung

δ = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·8,4 × 10¹¹) = 3,013 mm

Antwort

δ = 3,013 mm

12.Durchbiegung

Antwort: M_A = 120 kN·m

Stütze entfernen

Ohne die Stütze ist der Balken ein Kragarm. Sein freies Ende würde sich unter der Last durchbiegen.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Verträglichkeit an der Stütze

Die Stützkraft R_B allein hebt das freie Ende um R_BL³/(3EI) an. Die Stütze hält B bei null Durchbiegung, also müssen sich beide aufheben. EI kürzt sich heraus.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·8/8 = 45 kN

Moment an der Einspannung

Momente der Lasten und der Stützkraft um A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 480 − 360 = 120 kN·m

Antwort

M_A = 120 kN·m

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 107,9 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/2000² = 107949 N = 107,9 kN

Antwort

P_cr = 107,9 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 83,14 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2,5·105000 = 262500 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·262500·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 83,14 mm

Antwort

d = 83,14 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 202,1, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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