Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Aluminium, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 60 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 25 mm, E = 200 GPa, zulässige Spannung 120 MPa) steckt in einem Rohr aus Kupfer (Außendurchmesser 120 mm, Innendurchmesser 50 mm, E = 120 GPa, zulässige Spannung 60 MPa). Sie werden zwischen starren Platten zusammengedrückt. Bestimme die größte Last P_max.

Stab: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaRohr: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Aluminium ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 500 N·md = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Messing mit 30 mm Durchmesser ist in A eingespannt. In B, 2,5 m von A entfernt, wirkt ein Drehmoment von 100 N·m, und am freien Ende C, weitere 1 m entfernt, wirkt ein Drehmoment von 400 N·m im entgegengesetzten Drehsinn. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

d = 30 mmT_B = 100 N·mT_C = 400 N·mAB = 2,5 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Der Einfeldträger trägt bei x = 3 m von A ein Moment M₀ = 30 kN·m im Uhrzeigersinn und sonst keine Last. Bestimme das Biegemoment M_x unmittelbar links vom eingeprägten Moment. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 10 mM₀ = 30 kN·m im Uhrzeigersinn, bei 3 m

M_x = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

30 kN @ 0 m10 kN @ 12 m45 kN @ 4 m4 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Eine Platte von 200 mm × 300 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 40 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 120 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 200 mmh = 300 mmd = 40 mmLochmittelpunkt: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 50 kN·m. Bestimme die Biegespannung σ_unten an der Unterkante.

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mmM = 50 kN·m

σ_unten = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = 10 MPa und σᵧ = −50 MPa. Wie groß darf die Schubspannung τ_xy (Betrag) werden, bevor die größte Hauptspannung 20 MPa erreicht?

σ_x = 10 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = 20 MPa

τ_xy = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Eine Vollwelle mit 40 mm Durchmesser überträgt ein Biegemoment von 500 N·m zusammen mit einem Drehmoment von 2000 N·m. Bestimme an der Oberseite, wo die Biegespannung eine Zugspannung und am größten ist, die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

d = 40 mmM = 500 N·mT = 2000 N·m

τ_max = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 8 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand b = 1 m vom Auflager B. Bestimme die Durchbiegung δ_mid in Feldmitte.

P = 18 kNb = 1 mL = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (Stahl)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 7579 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 60·1000/113,1 = 530,5 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 530,5/70000 = 0,007579 = 7579 µε

Antwort

ε = 7579 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P_max = 609,9 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·9346 = 1,22 × 10⁹ N

Maßgebende Dehnung

ε = min(0,0006, 0,0005) = 0,0005 (Kupfer)

Größte Last

P_max = 0,0005·1,22 × 10⁹ = 609862 N = 609,9 kN

Antwort

P_max = 609,9 kN

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 8,768 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2000/(26000·251327) = 0,153 rad

φ = 0,153·180/π = 8,768°

Antwort

φ = 8,768°

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 75,45 MPa

Innere Drehmomente

Drehsinn von T_C als positiv angenommen.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C − T_B = 400 − 100 = 300 N·m

Maximale Schubspannung

Der Abschnitt mit dem größten inneren Drehmoment hat die größte Spannung (gleicher Durchmesser).

|T|_max = 400 N·m

τ_max = 16·400000/(π·30³) = 75,45 MPa

Antwort

τ_max = 75,45 MPa

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = −9 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Ein eingeprägtes Moment lässt die Momentenlinie um die Größe dieses Moments springen.

Auflagerkräfte

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv: R_B·L − M₀ = 0. Vertikales Gleichgewicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 30/10 = 3 kN (nach oben)

R_A = −R_B = −3 kN (nach unten)

Schnitt unmittelbar links vom eingeprägten Moment

Der linke Teil enthält nur R_A.

M_x = R_A·a = −3·3 = −9 kN·m

Antwort

M_x = −9 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: B (x = 2 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 84,75 kN, R₂ = 32,25 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = −60 kN·m, M_C = 41,5, M_D = 37, M_E = 16,5, M_F = −20, M_G = 0

Antwort

Markierung B: M_B = −60 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 448,7 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat I_c = bh³/12 und ein Kreis I_c = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (60000·150 − 1257·120)/(60000 − 1257) = 150,6 mm

Volle Platte um ȳ

200·300³/12 + 60000·−0,6418² = 450 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−30,64² = 1,306 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 448,7 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 448,7 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_unten = 395,6 MPa

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 200·25 = 5000 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152,5 mm

Steg: A_w = 18·140 = 2520 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5000·152,5 + 2520·70)/7520 = 124,9 mm

Satz von Steiner

Flansch: 200·25³/12 + 5000·(152,5 − 124,9)² = 4,082 × 10⁶ mm⁴

Steg: 18·140³/12 + 2520·(70 − 124,9)² = 1,17 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,082 × 10⁶ + 1,17 × 10⁷ = 1,578 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

Die Unterkante liegt ȳ von der Achse entfernt.

y = 124,9 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·124,9/1,578 × 10⁷ = 395,6 MPa

Antwort

σ_unten = 395,6 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_xy = 26,46 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Erforderlicher Radius

C = (10 + (−50))/2 = −20 MPa

R = σ₁ − C = 20 − (−20) = 40 MPa

Schubspannung

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(40² − 30²) = 26,46 MPa

Antwort

τ_xy = 26,46 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 164,1 MPa

Spannungen an der Oberfläche

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·40³) = 79,58 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·40³) = 159,2 MPa

Mohrscher Spannungskreis

C = σ/2 = 39,79 MPa

R = √(39,79² + 159,2²) = 164,1 MPa

Antwort

τ_max = 164,1 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 2,527 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 2,527 mm

Antwort

δ_max = 2,527 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_mid = 2,377 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 18000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Durchbiegung in Feldmitte

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 18000·1000·(3·5000² − 4·1000²)/(48·1,12 × 10¹³) = 2,377 mm

Antwort

δ_mid = 2,377 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 16,45 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/2000² = 16449 N = 16,45 kN

Antwort

P_cr = 16,45 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 6,94 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/7,5 = 533,3

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533,3² = 6,94 MPa

Antwort

σ_cr = 6,94 MPa

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