Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Stahl unter der axialen Last.

P = 80 kNd = 25 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 80 kNAbschnitt 1: Ø30 mm, 1 m, Stahl (E = 200 GPa)Abschnitt 2: Ø12 mm, 0,5 m, Aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Aluminium mit 1 m Länge überträgt ein Drehmoment von 250 N·m. Der Verdrehwinkel zwischen ihren Enden darf 1° nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der diese Grenze einhält.

T = 250 N·mL = 1 mG = 26 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Aluminium überträgt 50 kW bei 1500 rpm. Die Schubspannung darf 50 MPa nicht überschreiten, und die Verdrehung darf 1° pro m Länge nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der beide Grenzen einhält.

P = 50 kWN = 1500 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

40 kN @ 8 m15 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 1 m bis zum freien Ende C aus. Über die ganze Länge A–C wirkt eine Gleichstreckenlast w. Bestimme das Biegemoment M_B am Auflager B. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 5 mw = 5 kN/m von 0 bis 5 mAuflager bei x = 0 und x = 4 m

M_B = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein U-Profil liegt mit der offenen Seite nach oben: eine Bodenplatte von 220 mm Breite mit zwei senkrechten Schenkeln, insgesamt 130 mm hoch. Boden und Schenkel sind alle 16 mm dick. Bestimme die Höhe ȳ des Schwerpunkts über der Unterkante.

b = 220 mmh = 130 mmt = 16 mm

ȳ = mm

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Eine Platte von 120 mm × 240 mm hat einen rechteckigen Ausschnitt von 30 mm Breite und 40 mm Höhe, der auf der vertikalen Mittellinie sitzt und dessen Mittelpunkt 168 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 120 mmh = 240 mmAusschnitt: 30 × 40 mmLochmittelpunkt: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 30 MPa, σᵧ = −20 MPa und τₓᵧ = −10 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_p von der x-Achse zur Richtung der größten Hauptspannung, zwischen −90° und 90°.

σ_x = 30 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 80 MPa, σᵧ = −20 MPa und τₓᵧ = 30 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 45° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = 80 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 1,5 m von A. Bestimme die Durchbiegung δ_B am freien Ende B.

P = 28 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand b = 1 m vom Auflager B. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max des Balkens.

P = 10 kNb = 1 mL = 4 mE = 200 GPa (Stahl)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Sie muss 125 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 125 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 2,445 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 80·1000/490,9 = 163 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Stahl = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 163/200000 = 0,0008149 = 814,9 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,0008149·3000 mm = 2,445 mm

Antwort

δ = 2,445 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 707,4 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 113,2 MPa

σ₂ = 707,4 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 707,4 MPa

Antwort

σ_max = 707,4 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: d = 48,67 mm

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Erforderliches polares Flächenträgheitsmoment

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·1000/(26000·0,01745) = 550921 mm⁴

Durchmesser

d = (32J/π)^1/4 = 48,67 mm

Antwort

d = 48,67 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 51,7 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Durchmesser aus der Festigkeit

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm

d_τ = ∛(16·318310/(π·50)) = 31,89 mm

Durchmesser aus der Steifigkeit

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·318310/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 51,7 mm

Maßgebender Durchmesser

Beide Grenzen müssen eingehalten werden, daher ist der größere Durchmesser maßgebend.

d = max(31,89, 51,7) = 51,7 mm

Antwort

d = 51,7 mm

Hier ist die Steifigkeit maßgebend.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 8 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 23,33 kN, R₂ = 31,67 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 46,67, M_C = 93,33, M_D = 110, M_E = 126,7 kN·m, M_F = 63,33, M_G = 0

Antwort

Markierung E: M_E = 126,7 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_B = −2,5 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht am ganzen Balken, einschließlich der Last auf dem Kragarm.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, angreifend bei x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 5·5·2,5

R_B = 62,5/4 = 15,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 15,63 = 9,375 kN

Schnitt bei B, Kragarm behalten

Die Last auf dem Kragarm, w·a, greift a/2 von B entfernt an und erzeugt über dem Auflager ein negatives Moment.

M_B = −w·a²/2 = −5·1²/2 = −2,5 kN·m

Antwort

M_B = −2,5 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: ȳ = 41,08 mm

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In Rechtecke aufteilen

Nimm den Boden über die ganze Breite und die beiden Schenkel darüber (Höhe h − t), damit nichts doppelt gezählt wird.

Grundlage: A₁ = 220·16 = 3520 mm², y₁ = 8 mm

zwei Schenkel: A₂ = 2·16·114 = 3648 mm², y₂ = 16 + 114/2 = 73 mm

Schwerpunkt

ȳ = (3520·8 + 3648·73)/7168 = 41,08 mm

Antwort

ȳ = 41,08 mm

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 135,2 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat I_c = bh³/12 und ein Kreis I_c = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (28800·120 − 1200·168)/(28800 − 1200) = 117,9 mm

Volle Platte um ȳ

120·240³/12 + 28800·2,087² = 138,4 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

30·40³/12 + 1200·50,09² = 3,17 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 135,2 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 135,2 × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_p = −10,9 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Punkt x liegt im Mohrschen Kreis unter dem Winkel 2θp zur σ-Achse; der Quadrant ergibt sich aus den Vorzeichen von σₓ − σᵧ und τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−10, 30 − −20) = −21,8°

Winkel am Element

θ_p = −10,9°

Antwort

θ_p = −10,9°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = 60 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = 30 + 50·0 + 30·1 = 60 MPa

Antwort

σ_θ = 60 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_B = 18,75 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 28000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung am freien Ende

Durchbiegung an der Last plus Neigung an der Last mal Restlänge.

δ_P = Pa³/(3EI) = 12,5 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0125 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 18,75 mm

Antwort

δ_B = 18,75 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 5,481 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 10000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Lage des Maximums

Setzt man die Neigung im längeren Abschnitt null, erhält man die Lage.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

Maximale Durchbiegung

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 5,481 mm

Antwort

δ_max = 5,481 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 19,99 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Knicklänge

KL = 2·3000 = 6000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/6000² = 19991 N = 19,99 kN

Antwort

P_cr = 19,99 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 44,35 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 3·125000 = 375000 N

KL = 1·1000 = 1000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 44,35 mm

Antwort

d = 44,35 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 90,18, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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