Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 40 mm, E = 200 GPa) steckt in einem Rohr aus Bronze (Außendurchmesser 100 mm, Innendurchmesser 70 mm, E = 110 GPa). Beide sind 800 mm lang und werden zwischen starren Platten mit 300 kN zusammengedrückt. Bestimme die Verkürzung δ.

P = 300 kNStab: Ø40 mm, E = 200 GPaRohr: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 20 mm, E = 200 GPa, zulässige Spannung 200 MPa) steckt in einem Rohr aus Aluminium (Außendurchmesser 120 mm, Innendurchmesser 50 mm, E = 70 GPa, zulässige Spannung 100 MPa). Sie werden zwischen starren Platten zusammengedrückt. Bestimme die größte Last P_max.

Stab: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaRohr: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Stahl ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 750 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle soll 100 kW bei 500 rpm übertragen. Ihr Innendurchmesser soll das 0,8-Fache ihres Außendurchmessers betragen, und die Schubspannung darf 50 MPa nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Außendurchmesser d_o.

P = 100 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

40 kN @ 8 m35 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 3,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 4 mP = 45 kN bei 1,5 mw = 4 kN/m von 0 bis 4 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein U-Profil liegt mit der offenen Seite nach oben: eine Bodenplatte von 100 mm Breite mit zwei senkrechten Schenkeln, insgesamt 70 mm hoch. Boden und Schenkel sind alle 8 mm dick. Bestimme die Höhe ȳ des Schwerpunkts über der Unterkante.

b = 100 mmh = 70 mmt = 8 mm

ȳ = mm

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein Gusseisenträger hat den dargestellten T-Querschnitt mit dem Flansch oben. Die zulässigen Spannungen betragen 50 MPa auf Zug und 90 MPa auf Druck. Bestimme das größte positive Biegemoment M_allow, das der Träger aufnehmen kann.

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 160 MPa, σᵧ = −60 MPa und τₓᵧ = −20 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

σ_x = 160 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Eine Vollwelle mit 50 mm Durchmesser überträgt eine axiale Zugkraft von 70 kN zusammen mit einem Drehmoment von 500 N·m. Bestimme an der Oberfläche der Welle die größte Hauptspannung σ₁.

d = 50 mmF = 70 kNT = 500 N·m

σ₁ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 15 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

P = 8 kNw = 6 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (Stahl)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (Stahl)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Sie muss 130 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 130 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 0,3469 mm

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·4006 = 6,919 × 10⁸ N

Verkürzung

δ = 300000·800/6,919 × 10⁸ = 0,3469 mm

Antwort

δ = 0,3469 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P_max = 717,1 kN

Flächen

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·9346 = 7,171 × 10⁸ N

Maßgebende Dehnung

ε = min(0,001, 0,001429) = 0,001 (Stahl)

Größte Last

P_max = 0,001·7,171 × 10⁸ = 717069 N = 717,1 kN

Antwort

P_max = 717,1 kN

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 7,003 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(80000·38350) = 0,1222 rad

φ = 0,1222·180/π = 7,003°

Antwort

φ = 7,003°

4.Torsion von Wellen

Antwort: d_o = 69,07 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Außendurchmesser aus der zulässigen Spannung

T = 1910 N·m = 1,91 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,91 × 10⁶/(π·50·0,5904)) = 69,07 mm

d_i = 0,8·69,07 = 55,26 mm

Antwort

d_o = 69,07 mm

Eine Vollwelle bräuchte d = 57,94 mm; die Hohlwelle ist etwas größer, aber viel leichter.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 8 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 19,17 kN, R₂ = 55,83 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 38,33, M_C = 76,67, M_D = 115, M_E = 153,3 kN·m, M_F = 111,7, M_G = 0

Antwort

Markierung E: M_E = 153,3 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 11,94 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, angreifend bei x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·1,5 + 4·4·2

R_B = 99,5/4 = 24,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 61 − 24,88 = 36,13 kN

Schnitt bei x = 3,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 36,13·3,5 − 45·(3,5 − 1,5) − 4·3,5·1,75 = 11,94 kN·m

Antwort

M_x = 11,94 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: ȳ = 23,38 mm

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In Rechtecke aufteilen

Nimm den Boden über die ganze Breite und die beiden Schenkel darüber (Höhe h − t), damit nichts doppelt gezählt wird.

Grundlage: A₁ = 100·8 = 800 mm², y₁ = 4 mm

zwei Schenkel: A₂ = 2·8·62 = 992 mm², y₂ = 8 + 62/2 = 39 mm

Schwerpunkt

ȳ = (800·4 + 992·39)/1792 = 23,38 mm

Antwort

ȳ = 23,38 mm

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: M_allow = 9,767 kN·m

Schwerpunkt

ȳ = (2400·267,5 + 2600·130)/5000 = 196 mm

Oberkante: c = 275 − 196 = 79 mm

Flächenträgheitsmoment

I = 160·15³/12 + 2400·71,5² + 10·260³/12 + 2600·66² = 3,829 × 10⁷ mm⁴

Von jedem Rand zugelassenes Moment

Positives Moment: oben Druck, unten Zug.

Oberkante: M = 90·3,829 × 10⁷/79 = 43,62 kN·m

Unterkante: M = 50·3,829 × 10⁷/196 = 9,767 kN·m

Maßgebender Wert

M_allow = min = 9,767 kN·m (Unterkante)

Antwort

M_allow = 9,767 kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 111,8 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Radius des Mohrschen Kreises

τ_max = R = √(((160 − −60)/2)² + −20²) = 111,8 MPa

Antwort

τ_max = 111,8 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ₁ = 44,89 MPa

Spannungen an der Oberfläche

σ = F/A = 70000/(π·50²/4) = 70000/1963 = 35,65 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·50³) = 20,37 MPa

Mohrscher Spannungskreis

C = σ/2 = 17,83 MPa

R = √(17,83² + 20,37²) = 27,07 MPa

σ₁ = C + R = 44,89 MPa

σ₂ = C − R = −9,244 MPa

Antwort

σ₁ = 44,89 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 3,028 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2500⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 3,028 mm

Antwort

δ_max = 3,028 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 5,719 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 8000 N, w = 6 N/mm, L = 6000 mm, EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(48EI) = 8000·6000³/(48·2,4 × 10¹³) = 1,5 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·6000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 4,219 mm

Addieren

δ_max = 1,5 + 4,219 = 5,719 mm

Antwort

δ_max = 5,719 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 3,515 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2100² = 3515 N = 3,515 kN

Antwort

P_cr = 3,515 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 45,25 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2·130000 = 260000 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·260000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 45,25 mm

Antwort

d = 45,25 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 110,5, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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