Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab besteht aus einem Segment aus Stahl (Durchmesser 25 mm, Länge 400 mm, E = 200 GPa), das stumpf mit einem Segment aus Messing (Durchmesser 60 mm, Länge 500 mm, E = 100 GPa) verbunden ist. Er ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen gezogen. Bestimme die axiale Last P, die ihn insgesamt um 0,5 mm dehnt.

Segment 1: Stahl, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPaSegment 2: Messing, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 65 kNAbschnitt 1: Ø40 mm, 0,5 m, Aluminium (E = 70 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 1 m, Messing (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Aluminium ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 500 N·md = 40 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle soll 100 kW bei 1800 U/min übertragen, ohne dass die Schubspannung 75 MPa überschreitet. Bestimme den kleinsten geeigneten Durchmesser d.

P = 100 kWN = 1800 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

10 kN @ 2 m35 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

55 kN @ 0 m50 kN @ 6 m45 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Eine Platte von 120 mm × 200 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 30 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 120 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 120 mmh = 200 mmd = 30 mmLochmittelpunkt: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Eine Platte von 200 mm × 240 mm hat einen rechteckigen Ausschnitt von 80 mm Breite und 50 mm Höhe, der auf der vertikalen Mittellinie sitzt und dessen Mittelpunkt 72 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 200 mmh = 240 mmAusschnitt: 80 × 50 mmLochmittelpunkt: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 140 MPa, σᵧ = 120 MPa und τₓᵧ = 50 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_p von der x-Achse zur Richtung der größten Hauptspannung, zwischen −90° und 90°.

σ_x = 140 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Eine Vollwelle mit 40 mm Durchmesser überträgt ein Biegemoment von 300 N·m zusammen mit einem Drehmoment von 250 N·m. Bestimme an der Oberseite, wo die Biegespannung eine Zugspannung und am größten ist, die größte Hauptspannung σ₁.

d = 40 mmM = 300 N·mT = 250 N·m

σ₁ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 0,5 m von A. Bestimme die Durchbiegung δ_B am freien Ende B.

P = 6 kNa = 0,5 mL = 4 mE = 11 GPa (Holz)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Holzbalken als Einfeldträger mit Rechteckquerschnitt, 100 mm breit, trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung in Feldmitte darf Spannweite/250 nicht überschreiten. Bestimme die kleinste Querschnittshöhe h_req.

w = 3 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (Holz)b = 100 mm

h_req = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (Stahl)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P = 85,58 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Nachgiebigkeiten

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1,768 × 10⁻⁶ mm/N

Last

P = 0,5/5,843 × 10⁻⁶ = 85576 N = 85,58 kN

Antwort

P = 85,58 kN

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 323,3 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 51,73 MPa

σ₂ = 323,3 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 323,3 MPa

Antwort

σ_max = 323,3 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 4,384 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(26000·251327) = 0,07652 rad

φ = 0,07652·180/π = 4,384°

Antwort

φ = 4,384°

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 33,03 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

Durchmesser aus der zulässigen Spannung

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·530516/(π·75)) = 33,03 mm

Antwort

d = 33,03 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 4 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 18,33 kN, R₂ = 26,67 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 18,33, M_C = 36,67, M_D = 45, M_E = 53,33 kN·m, M_F = 26,67, M_G = 0

Antwort

Markierung E: M_E = 53,33 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: B (x = 1 m)

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 67,5 kN, R₂ = 82,5 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = −55 kN·m, M_C = −42,5, M_D = −30, M_E = −17,5, M_F = −50, M_G = 0

Antwort

Markierung B: M_B = −55 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 79,67 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat I_c = bh³/12 und ein Kreis I_c = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (24000·100 − 706,9·120)/(24000 − 706,9) = 99,39 mm

Volle Platte um ȳ

120·200³/12 + 24000·0,6069² = 80,01 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·20,61² = 0,3399 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 79,67 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 79,67 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 219,5 × 10⁶ mm⁴

Schwerpunkt

ȳ = (48000·120 − 4000·72)/(48000 − 4000) = 124,4 mm

Volle Platte um ȳ

200·240³/12 + 48000·−4,364² = 231,3 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

80·50³/12 + 4000·−52,36² = 11,8 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 219,5 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 219,5 × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_p = 39,35 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Punkt x liegt im Mohrschen Kreis unter dem Winkel 2θp zur σ-Achse; der Quadrant ergibt sich aus den Vorzeichen von σₓ − σᵧ und τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·50, 140 − 120) = 78,69°

Winkel am Element

θ_p = 39,35°

Antwort

θ_p = 39,35°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ₁ = 54,95 MPa

Spannungen an der Oberfläche

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·40³) = 47,75 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·40³) = 19,89 MPa

Mohrscher Spannungskreis

C = σ/2 = 23,87 MPa

R = √(23,87² + 19,89²) = 31,08 MPa

σ₁ = C + R = 54,95 MPa

σ₂ = C − R = −7,203 MPa

Antwort

σ₁ = 54,95 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_B = 11,36 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 6000 N, a = 500 mm, L = 4000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Durchbiegung am freien Ende

Durchbiegung an der Last plus Neigung an der Last mal Restlänge.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,9881 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,002964 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 11,36 mm

Antwort

δ_B = 11,36 mm

12.Durchbiegung

Antwort: h_req = 213,3 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·4500⁴/(384·11000·18) = 8,09 × 10⁷ mm⁴

Erforderliche Höhe

bh³/12 = I_req → h = (12·8,09 × 10⁷/100)^1/3 = 213,3 mm

Antwort

h_req = 213,3 mm

In der Praxis wählt man die nächste Standardhöhe über diesem Wert.

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 114,2 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/1500² = 114232 N = 114,2 kN

Antwort

P_cr = 114,2 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 27,76 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/15 = 266,7

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Antwort

σ_cr = 27,76 MPa

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