Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Stahl unter der axialen Last.

P = 110 kNd = 12 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Segment aus Stahl (Durchmesser 25 mm, Länge 600 mm, E = 200 GPa) und ein Segment aus Bronze (Durchmesser 40 mm, Länge 500 mm, E = 110 GPa) sind stumpf verbunden und zwischen zwei starren Wänden eingespannt. Am Übergang wirkt eine axiale Last von 30 kN in Richtung Segment 2. Bestimme den Betrag der Spannung σ₂ in Segment 2.

Segment 1: Stahl, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPaSegment 2: Bronze, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Aluminium ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 500 N·md = 40 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle überträgt 100 kW bei 300 U/min. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

P = 100 kWN = 300 rpmd_o = 40 mmd_i = 24 mm

τ_max = MPa

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

50 kN @ 6 m8 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

40 kN @ 0 m50 kN @ 12 m30 kN @ 6 m5 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein Kreisrohr hat den Außendurchmesser D = 200 mm und den Innendurchmesser d = 184 mm. Bestimme seinen Trägheitsradius r um die horizontale Schwerachse.

D = 200 mmd = 184 mm

r = mm

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 15 kN·m. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_oben an der Oberkante.

b_f = 260 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mmM = 15 kN·m

σ_oben = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = −10 MPa, σᵧ = 50 MPa und τₓᵧ = −20 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_s zwischen −90° und 90° von der x-Achse zur Normalen der Ebene, in der die Schubspannung ihren größten positiven Wert +R hat (Schub positiv im gleichen Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = −10 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 0 MPa, σᵧ = 0 MPa und τₓᵧ = 30 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 60° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = 0 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand a = 1 m vom Auflager A. Bestimme die Durchbiegung δ_P unter der Last.

P = 25 kNa = 1 mL = 4 mE = 200 GPa (Stahl)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein einseitig eingespannter Träger ist in A eingespannt und in B gelenkig gestützt. Er trägt in Feldmitte eine Einzellast P. EI ist konstant. Bestimme den Betrag des Biegemoments M_A an der Einspannung.

L = 5 mP = 60 kN bei 2,5 m

M_A = kN·m

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Sie muss 45 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 45 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 9,726 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 110·1000/113,1 = 972,6 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Stahl = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 972,6/200000 = 0,004863 = 4863 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,004863·2000 mm = 9,726 mm

Antwort

δ = 9,726 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ₂ = 15 MPa

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Steifigkeiten

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 110000·1257/500 = 276460 N/mm

Anteil von Segment 2

F₂ = 30000·276460/440085 = 18846 N

Spannung

σ₂ = 18846/1257 = 15 MPa (Druck)

Antwort

σ₂ = 15 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 13,15 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 500·1000·3000/(26000·251327) = 0,2296 rad

φ = 0,2296·180/π = 13,15°

Antwort

φ = 13,15°

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 291 MPa

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 100000/31,42 = 3183 N·m

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Maximale Schubspannung

τ_max = T·(d_o/2)/J = 3,183 × 10⁶·20/218755 = 291 MPa

Antwort

τ_max = 291 MPa

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: D (x = 6 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 73 kN, R₂ = 73 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 130, M_C = 228, M_D = 294 kN·m, M_E = 228, M_F = 130, M_G = 0

Antwort

Markierung D: M_D = 294 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 8 m)

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 45 kN, R₂ = 105 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = −80, M_C = −80, M_D = −100, M_E = −200 kN·m, M_F = −100, M_G = 0

Antwort

Markierung E: M_E = −200 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: r = 67,94 mm

Flächenträgheitsmoment: Für ein Rechteck gilt um seine eigene Schwerachse I = bh³/12 und um seine Grundlinie bh³/3 (Satz von Steiner I = I_c + A·d²). Ein Loch wird berücksichtigt, indem man sein I abzieht, solange beide Teile dieselbe Achse haben. Das elastische Widerstandsmoment ist S = I/c, wobei c der Abstand zur Randfaser ist. Der Trägheitsradius r = √(I/A) ist der Abstand, in dem die ganze Fläche dasselbe I ergäbe; er wird beim Knicken von Stützen verwendet.

Nettofläche und Netto-Flächenträgheitsmoment

A = π(D² − d²)/4 = 4825 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2,227 × 10⁷ mm⁴

Trägheitsradius

r = √(I/A) = √(2,227 × 10⁷/4825) = 67,94 mm

Antwort

r = 67,94 mm

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_oben = 29,94 MPa

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 260·15 = 3900 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

Steg: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3900·207,5 + 2000·100)/5900 = 171,1 mm

Satz von Steiner

Flansch: 260·15³/12 + 3900·(207,5 − 171,1)² = 5,252 × 10⁶ mm⁴

Steg: 10·200³/12 + 2000·(100 − 171,1)² = 1,677 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,252 × 10⁶ + 1,677 × 10⁷ = 2,202 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

Die Oberkante liegt h − ȳ von der Achse entfernt.

y = 215 − 171,1 = 43,94 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·43,94/2,202 × 10⁷ = 29,94 MPa

Antwort

σ_oben = 29,94 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_s = 61,85 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Im Mohrschen Kreis liegt der höchste Punkt (+R) 90° vom Hauptspannungspunkt σ₁ entfernt; am Element sind das 45°.

cos 2θ_s = −20/36,06 = −0,5547, sin 2θ_s = −(−30)/36,06 = 0,8321

2θ_s = atan2(30, −20) = 123,7°

Winkel am Element

θ_s = 61,85°

Probe: θ_s − θ_p = 61,85 − (−73,15) = 135°

Antwort

θ_s = 61,85°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = 25,98 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = 0 + 0·−0,5 + 30·0,866 = 25,98 MPa

Antwort

σ_θ = 25,98 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_P = 4,076 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 25000 N, a = 1000 mm, b = 3000 mm, L = 4000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 25000·1000²·3000²/(3·4,6 × 10¹²·4000) = 4,076 mm

Antwort

δ_P = 4,076 mm

12.Durchbiegung

Antwort: M_A = 56,25 kN·m

Stütze entfernen

Ohne die Stütze ist der Balken ein Kragarm. Sein freies Ende würde sich unter der Last durchbiegen.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Verträglichkeit an der Stütze

Die Stützkraft R_B allein hebt das freie Ende um R_BL³/(3EI) an. Die Stütze hält B bei null Durchbiegung, also müssen sich beide aufheben. EI kürzt sich heraus.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·60/16 = 18,75 kN

Moment an der Einspannung

Momente der Lasten und der Stützkraft um A.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 150 − 93,75 = 56,25 kN·m

Antwort

M_A = 56,25 kN·m

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 107,9 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Knicklänge

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/2000² = 107949 N = 107,9 kN

Antwort

P_cr = 107,9 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 109,4 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 3·45000 = 135000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 109,4 mm

Antwort

d = 109,4 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 219,4, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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