Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab besteht aus einem Segment aus Stahl (Durchmesser 25 mm, Länge 300 mm, E = 200 GPa), das stumpf mit einem Segment aus Aluminium (Durchmesser 60 mm, Länge 200 mm, E = 70 GPa) verbunden ist. Er ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen gezogen. Bestimme die axiale Last P, die ihn insgesamt um 0,3 mm dehnt.

Segment 1: Stahl, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaSegment 2: Aluminium, Ø60 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 30 mm, E = 200 GPa, zulässige Spannung 150 MPa) steckt in einem Rohr aus Kupfer (Außendurchmesser 100 mm, Innendurchmesser 70 mm, E = 120 GPa, zulässige Spannung 60 MPa). Sie werden zwischen starren Platten zusammengedrückt. Bestimme die größte Last P_max.

Stab: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaRohr: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Stahl ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle soll 20 kW bei 1800 U/min übertragen, ohne dass die Schubspannung 75 MPa überschreitet. Bestimme den kleinsten geeigneten Durchmesser d.

P = 20 kWN = 1800 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

45 kN @ 3 m4 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

45 kN @ 0 m30 kN @ 12 m15 kN @ 4 m8 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 230 mm Breite und 10 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 420 mm und einen Steg mit 10 mm Dicke. Bestimme sein elastisches Widerstandsmoment S_x für Biegung um die horizontale Schwerachse x.

B = 230 mmH = 420 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein geschweißter I-Querschnitt hat einen Obergurt 160 × 20 mm, einen Steg mit 160 mm Höhe und 8 mm Dicke sowie einen Untergurt 280 × 16 mm (Breite × Dicke). Bestimme sein Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse x durch seinen Schwerpunkt.

Obergurt: 160 × 20 mmSteg: 8 × 160 mmUntergurt: 280 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = 60 MPa und σᵧ = −60 MPa. Wie groß darf die Schubspannung τ_xy (Betrag) werden, bevor die größte Hauptspannung 115 MPa erreicht?

σ_x = 60 MPaσ_y = −60 MPaσ₁ = 115 MPa

τ_xy = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 110 MPa, σᵧ = −70 MPa und τₓᵧ = 40 MPa (Zug positiv). Bestimme die Schubspannung τ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 25° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist (positiv im selben Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = 110 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und an seinem freien Ende eine Einzellast P. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ am freien Ende.

P = 4 kNw = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (Holz)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment I_req, das diese Grenze einhält.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (Aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (Stahl)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P = 73,78 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Nachgiebigkeiten

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·2827) = 1,011 × 10⁻⁶ mm/N

Last

P = 0,3/4,066 × 10⁻⁶ = 73777 N = 73,78 kN

Antwort

P = 73,78 kN

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P_max = 311 kN

Flächen

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·4006 = 6,22 × 10⁸ N

Maßgebende Dehnung

ε = min(0,00075, 0,0005) = 0,0005 (Kupfer)

Größte Last

P_max = 0,0005·6,22 × 10⁸ = 311018 N = 311 kN

Antwort

P_max = 311 kN

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 0,5836 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(80000·613592) = 0,01019 rad

φ = 0,01019·180/π = 0,5836°

Antwort

φ = 0,5836°

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 19,31 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m

Durchmesser aus der zulässigen Spannung

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·106103/(π·75)) = 19,31 mm

Antwort

d = 19,31 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: D (x = 3 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 30,5 kN, R₂ = 30,5 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 30,5, M_C = 59, M_D = 83,5 kN·m, M_E = 59, M_F = 30,5, M_G = 0

Antwort

Markierung D: M_D = 83,5 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: B (x = 2 m)

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 92 kN, R₂ = 62 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = −90 kN·m, M_C = −12, M_D = 4, M_E = −12, M_F = −60, M_G = 0

Antwort

Markierung B: M_B = −90 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: S_x = 1175 × 10³ mm³

Flächenträgheitsmoment: Für ein Rechteck gilt um seine eigene Schwerachse I = bh³/12 und um seine Grundlinie bh³/3 (Satz von Steiner I = I_c + A·d²). Ein Loch wird berücksichtigt, indem man sein I abzieht, solange beide Teile dieselbe Achse haben. Das elastische Widerstandsmoment ist S = I/c, wobei c der Abstand zur Randfaser ist.

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − t_w) breit und h_w = H − 2t_f hoch und haben die Achse x gemeinsam.

h_w = 420 − 2·10 = 400 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (230·420³ − 220·400³)/12

I_x = 2,467 × 10⁸ mm⁴

Widerstandsmoment

c = H/2 = 210 mm

S_x = I/c = 2,467 × 10⁸/210

S_x = 1,175 × 10⁶ mm³ = 1175 × 10³ mm³

Antwort

S_x = 1175 × 10³ mm³

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 62,29 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In drei Rechtecke aufteilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Obergurt: A = 3200 mm², y = 186 mm

Steg: A = 1280 mm², y = 96 mm

Untergurt: A = 4480 mm², y = 8 mm

Schwerpunkt

ȳ = (3200·186 + 1280·96 + 4480·8)/8960 = 84,14 mm

Satz von Steiner

Obergurt: 160·20³/12 + 3200·101,9² = 3,331 × 10⁷ mm⁴

Steg: 8·160³/12 + 1280·11,86² = 2,911 × 10⁶ mm⁴

Untergurt: 280·16³/12 + 4480·76,14² = 2,607 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,331 × 10⁷ + 2,911 × 10⁶ + 2,607 × 10⁷

I_x = 6,229 × 10⁷ mm⁴ = 62,29 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 62,29 × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_xy = 98,11 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Erforderlicher Radius

C = (60 + (−60))/2 = 0 MPa

R = σ₁ − C = 115 − 0 = 115 MPa

Schubspannung

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(115² − 60²) = 98,11 MPa

Antwort

τ_xy = 98,11 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_θ = −43,23 MPa

Transformationsgleichung

τ_θ = −90·0,766 + 40·0,6428 = −43,23 MPa

Antwort

τ_θ = −43,23 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ = 17,17 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 4000 N, w = 6 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(3EI) = 4000·2000³/(3·1,32 × 10¹²) = 8,081 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 9,091 mm

Addieren

δ = 8,081 + 9,091 = 17,17 mm

Antwort

δ = 17,17 mm

12.Durchbiegung

Antwort: I_req = 4,286 × 10⁶ mm⁴

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·2000⁴/(384·70000·5,556) = 4,286 × 10⁶ mm⁴

I_req = 4,286 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_req = 4,286 × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 23,39 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Knicklänge

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/1500² = 23395 N = 23,39 kN

Antwort

P_cr = 23,39 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 27,76 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7,5 = 266,7

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Antwort

σ_cr = 27,76 MPa

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