Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Messing, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 25 mm, E = 200 GPa, zulässige Spannung 150 MPa) steckt in einem Rohr aus Kupfer (Außendurchmesser 100 mm, Innendurchmesser 60 mm, E = 120 GPa, zulässige Spannung 100 MPa). Sie werden zwischen starren Platten zusammengedrückt. Bestimme die größte Last P_max.

Stab: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaRohr: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Torsion von WellenMittel

In einem Torsionsversuch wird eine Vollprobe mit 12 mm Durchmesser durch ein Drehmoment von 30 N·m verdreht. Die beiden Enden einer Messlänge von 400 mm verdrehen sich um 8,66° gegeneinander (der Werkstoff ist noch elastisch). Bestimme den Schubmodul G des Werkstoffs.

T = 30 N·md = 12 mmL = 400 mmφ = 8,66°

G = GPa

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle soll 50 kW bei 1000 rpm übertragen. Ihr Innendurchmesser soll das 0,8-Fache ihres Außendurchmessers betragen, und die Schubspannung darf 75 MPa nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Außendurchmesser d_o.

P = 50 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 5,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 10 mw = 8 kN/m von 0 bis 10 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 8 mP = 50 kN bei 5 mw = 10 kN/m von 0 bis 8 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 130 mm Breite und 10 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 300 mm und einen Steg mit 10 mm Dicke. Bestimme sein elastisches Widerstandsmoment S_x für Biegung um die horizontale Schwerachse x.

B = 130 mmH = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein geschweißter I-Querschnitt hat einen Obergurt 100 × 14 mm, einen Steg mit 320 mm Höhe und 14 mm Dicke sowie einen Untergurt 170 × 14 mm (Breite × Dicke). Bestimme sein Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse x durch seinen Schwerpunkt.

Obergurt: 100 × 14 mmSteg: 14 × 320 mmUntergurt: 170 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −20 MPa, σᵧ = 110 MPa und τₓᵧ = −10 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

σ_x = −20 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 70 MPa, σᵧ = −20 MPa und τₓᵧ = −40 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 40° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = 70 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (Stahl)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Holzbalken als Einfeldträger mit Rechteckquerschnitt, 125 mm breit, trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung in Feldmitte darf Spannweite/250 nicht überschreiten. Bestimme die kleinste Querschnittshöhe h_req.

w = 3 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (Holz)b = 125 mm

h_req = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (Stahl)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 305,6 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 15·1000/490,9 = 30,56 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 30,56/100000 = 0,0003056 = 305,6 µε

Antwort

ε = 305,6 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P_max = 526 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·5027 = 7,014 × 10⁸ N

Maßgebende Dehnung

ε = min(0,00075, 0,0008333) = 0,00075 (Stahl)

Größte Last

P_max = 0,00075·7,014 × 10⁸ = 526020 N = 526 kN

Antwort

P_max = 526 kN

3.Torsion von Wellen

Antwort: G = 39 GPa

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment und Winkel

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 8,66·π/180 = 0,1511 rad

Schubmodul

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·400/(2036·0,1511) = 39000 MPa

G = 39 GPa

Antwort

G = 39 GPa

Zum Vergleich: Stahl ≈ 80 GPa, Messing ≈ 39 GPa, Aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion von Wellen

Antwort: d_o = 38,01 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Außendurchmesser aus der zulässigen Spannung

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·477465/(π·75·0,5904)) = 38,01 mm

d_i = 0,8·38,01 = 30,41 mm

Antwort

d_o = 38,01 mm

Eine Vollwelle bräuchte d = 31,89 mm; die Hohlwelle ist etwas größer, aber viel leichter.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 99 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, angreifend bei x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 8·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Schnitt bei x = 5,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 40·5,5 − 8·5,5·2,75 = 99 kN·m

Antwort

M_x = 99 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 168,8 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·5 + 10·8·4

R_B = 570/8 = 71,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 130 − 71,25 = 58,75 kN

Schnitt bei x = 5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 58,75·5 − 10·5·2,5 = 168,8 kN·m

Antwort

M_x = 168,8 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: S_x = 486,5 × 10³ mm³

Flächenträgheitsmoment: Für ein Rechteck gilt um seine eigene Schwerachse I = bh³/12 und um seine Grundlinie bh³/3 (Satz von Steiner I = I_c + A·d²). Ein Loch wird berücksichtigt, indem man sein I abzieht, solange beide Teile dieselbe Achse haben. Das elastische Widerstandsmoment ist S = I/c, wobei c der Abstand zur Randfaser ist.

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − t_w) breit und h_w = H − 2t_f hoch und haben die Achse x gemeinsam.

h_w = 300 − 2·10 = 280 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·300³ − 120·280³)/12

I_x = 7,298 × 10⁷ mm⁴

Widerstandsmoment

c = H/2 = 150 mm

S_x = I/c = 7,298 × 10⁷/150

S_x = 486533 mm³ = 486,5 × 10³ mm³

Antwort

S_x = 486,5 × 10³ mm³

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 140,5 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In drei Rechtecke aufteilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Obergurt: A = 1400 mm², y = 341 mm

Steg: A = 4480 mm², y = 174 mm

Untergurt: A = 2380 mm², y = 7 mm

Schwerpunkt

ȳ = (1400·341 + 4480·174 + 2380·7)/8260 = 154,2 mm

Satz von Steiner

Obergurt: 100·14³/12 + 1400·186,8² = 4,888 × 10⁷ mm⁴

Steg: 14·320³/12 + 4480·19,81² = 3,999 × 10⁷ mm⁴

Untergurt: 170·14³/12 + 2380·147,2² = 5,16 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,888 × 10⁷ + 3,999 × 10⁷ + 5,16 × 10⁷

I_x = 1,405 × 10⁸ mm⁴ = 140,5 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 140,5 × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 65,76 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Radius des Mohrschen Kreises

τ_max = R = √(((−20 − 110)/2)² + −10²) = 65,76 MPa

Antwort

τ_max = 65,76 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = −6,578 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = 25 + 45·0,1736 + −40·0,9848 = −6,578 MPa

Antwort

σ_θ = −6,578 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 1,241 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·3000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 1,241 mm

Antwort

δ_max = 1,241 mm

12.Durchbiegung

Antwort: h_req = 132 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/250 = 3000/250 = 12 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·3000⁴/(384·11000·12) = 2,397 × 10⁷ mm⁴

Erforderliche Höhe

bh³/12 = I_req → h = (12·2,397 × 10⁷/125)^1/3 = 132 mm

Antwort

h_req = 132 mm

In der Praxis wählt man die nächste Standardhöhe über diesem Wert.

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 91,79 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/2800² = 91793 N = 91,79 kN

Antwort

P_cr = 91,79 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 49,35 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/20 = 200

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Antwort

σ_cr = 49,35 MPa

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