Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Stahl unter der axialen Last.

P = 25 kNd = 16 mmL = 1 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 35 kNAbschnitt 1: Ø30 mm, 1,5 m, Stahl (E = 200 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 0,5 m, Stahl (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Stahl ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 500 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle soll 75 kW bei 1000 U/min übertragen, ohne dass die Schubspannung 75 MPa überschreitet. Bestimme den kleinsten geeigneten Durchmesser d.

P = 75 kWN = 1000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 3 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 6 mw = 5 kN/m von 0 bis 6 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 2 m bis zum freien Ende C aus. Über die ganze Länge A–C wirkt eine Gleichstreckenlast w. Bestimme das maximale positive Biegemoment M_max zwischen den Auflagern.

L = 6 mw = 8 kN/m von 0 bis 6 mAuflager bei x = 0 und x = 4 m

M_max = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein Gusseisenträger hat den dargestellten T-Querschnitt mit dem Flansch oben. Die zulässigen Spannungen betragen 35 MPa auf Zug und 90 MPa auf Druck. Bestimme das größte negative Biegemoment M_allow, das der Träger aufnehmen kann (gib seinen Betrag an).

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 60 MPa, σᵧ = −30 MPa und τₓᵧ = 20 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_p von der x-Achse zur Richtung der größten Hauptspannung, zwischen −90° und 90°.

σ_x = 60 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 100 MPa, σᵧ = 30 MPa und τₓᵧ = 40 MPa (Zug positiv). Bestimme die Schubspannung τ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 45° im Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist (positiv im selben Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (Stahl)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein einseitig eingespannter Träger ist in A eingespannt und in B gelenkig gestützt. Er trägt in Feldmitte eine Einzellast P. EI ist konstant. Bestimme den Betrag des Biegemoments M_A an der Einspannung.

L = 5 mP = 65 kN bei 2,5 m

M_A = kN·m

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (Stahl)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden eingespannt. Sie muss 35 kN mit einer Sicherheit von 2,5 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 35 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 0,6217 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 25·1000/201,1 = 124,3 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Stahl = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 124,3/200000 = 0,0006217 = 621,7 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,0006217·1000 mm = 0,6217 mm

Antwort

δ = 0,6217 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 174,1 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 49,51 MPa

σ₂ = 174,1 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 174,1 MPa

Antwort

σ_max = 174,1 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 2,85 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2000/(80000·251327) = 0,04974 rad

φ = 0,04974·180/π = 2,85°

Antwort

φ = 2,85°

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 36,5 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

Durchmesser aus der zulässigen Spannung

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·716197/(π·75)) = 36,5 mm

Antwort

d = 36,5 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 22,5 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, angreifend bei x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Schnitt bei x = 3 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 15·3 − 5·3·1,5 = 22,5 kN·m

Antwort

M_x = 22,5 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_max = 9 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht am ganzen Balken, einschließlich der Last auf dem Kragarm.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, angreifend bei x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·6·3

R_B = 144/4 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 36 = 12 kN

Querkraftnullstelle

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 12/8 = 1,5 m

Maximales positives Moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 12²/(2·8) = 9 kN·m

Antwort

M_max = 9 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 51,5 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

Steg: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·267,5 + 3120·130)/7320 = 208,9 mm

Satz von Steiner

Flansch: 280·15³/12 + 4200·(267,5 − 208,9)² = 1,45 × 10⁷ mm⁴

Steg: 12·260³/12 + 3120·(130 − 208,9)² = 3,7 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,45 × 10⁷ + 3,7 × 10⁷ = 5,15 × 10⁷ mm⁴ = 51,5 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 51,5 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: M_allow = 16,3 kN·m

Schwerpunkt

ȳ = (2200·265 + 2600·130)/4800 = 191,9 mm

Oberkante: c = 270 − 191,9 = 78,13 mm

Flächenträgheitsmoment

I = 220·10³/12 + 2200·73,13² + 10·260³/12 + 2600·61,88² = 3,638 × 10⁷ mm⁴

Von jedem Rand zugelassenes Moment

Negatives Moment: oben Zug, unten Druck.

Oberkante: M = 35·3,638 × 10⁷/78,13 = 16,3 kN·m

Unterkante: M = 90·3,638 × 10⁷/191,9 = 17,07 kN·m

Maßgebender Wert

M_allow = min = 16,3 kN·m (Oberkante)

Antwort

M_allow = 16,3 kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_p = 11,98 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Punkt x liegt im Mohrschen Kreis unter dem Winkel 2θp zur σ-Achse; der Quadrant ergibt sich aus den Vorzeichen von σₓ − σᵧ und τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·20, 60 − −30) = 23,96°

Winkel am Element

θ_p = 11,98°

Antwort

θ_p = 11,98°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_θ = 35 MPa

Transformationsgleichung

τ_θ = −35·−1 + 40·0 = 35 MPa

Antwort

τ_θ = 35 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 1,449 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 1,449 mm

Antwort

δ_max = 1,449 mm

12.Durchbiegung

Antwort: M_A = 60,94 kN·m

Stütze entfernen

Ohne die Stütze ist der Balken ein Kragarm. Sein freies Ende würde sich unter der Last durchbiegen.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Verträglichkeit an der Stütze

Die Stützkraft R_B allein hebt das freie Ende um R_BL³/(3EI) an. Die Stütze hält B bei null Durchbiegung, also müssen sich beide aufheben. EI kürzt sich heraus.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·65/16 = 20,31 kN

Moment an der Einspannung

Momente der Lasten und der Stützkraft um A.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 162,5 − 101,6 = 60,94 kN·m

Antwort

M_A = 60,94 kN·m

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 16,82 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1500² = 16822 N = 16,82 kN

Antwort

P_cr = 16,82 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 44,81 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2,5·35000 = 87500 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·87500·1250²/(π³·70000))^(1/4) = 44,81 mm

Antwort

d = 44,81 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 111,6, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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