Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Messing unter der axialen Last.

P = 90 kNd = 25 mmL = 2 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 105 kNAbschnitt 1: Ø30 mm, 2 m, Stahl (E = 200 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 1 m, Aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsion von WellenMittel

Eine abgesetzte Vollwelle aus Messing ist in A eingespannt. Abschnitt AB hat 75 mm Durchmesser und 0,5 m Länge; Abschnitt BC hat 25 mm Durchmesser und 0,8 m Länge. Am freien Ende C wirkt ein Drehmoment von 400 N·m. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

T = 400 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 25 mm, L₂ = 0,8 m

τ_max = MPa

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle überträgt 100 kW bei 300 U/min. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

P = 100 kWN = 300 rpmd_o = 50 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme die Querkraft V_x im Schnitt x = 6,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 8 mw = 10 kN/m von 0 bis 8 mx = 6,5 m

V_x = kN

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 6 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 8 mP = 45 kN bei 6 mw = 5 kN/m von 0 bis 8 mx = 6 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Eine Platte von 200 mm × 300 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 60 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 210 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 200 mmh = 300 mmd = 60 mmLochmittelpunkt: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein Gusseisenträger hat den dargestellten T-Querschnitt mit dem Flansch oben. Die zulässigen Spannungen betragen 40 MPa auf Zug und 120 MPa auf Druck. Bestimme das größte positive Biegemoment M_allow, das der Träger aufnehmen kann.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = −30 MPa, σᵧ = 120 MPa und τₓᵧ = −30 MPa (Zug positiv). Das Element wird um 30° gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Bestimme die Normalspannung σ_y′ auf den Flächen des gedrehten Elements, die senkrecht zur gedrehten y′-Achse stehen.

σ_x = −30 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = −10 MPa, σᵧ = 0 MPa und τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Der Werkstoff hat eine Streckgrenze von 355 MPa. Bestimme die Sicherheit n gegen Fließen nach dem Kriterium von Tresca (Schubspannungshypothese).

σ_x = −10 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Neigung θ_A des Balkens am Auflager A im Bogenmaß.

w = 2 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (Holz)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment I_req, das diese Grenze einhält.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (Holz)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Sie muss 115 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 115 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 3,667 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 90·1000/490,9 = 183,3 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 183,3/100000 = 0,001833 = 1833 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,001833·2000 mm = 3,667 mm

Antwort

δ = 3,667 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 8,946 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 148,5 MPa

σ₂ = 522,2 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 148,5·2000/200000 = 1,485 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 522,2·1000/70000 = 7,46 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8,946 mm

Antwort

δ = 8,946 mm

3.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 130,4 MPa

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Spannung in jedem Abschnitt

T = 400 N·m = 400000 N·mm

τ_AB = 16·400000/(π·75³) = 4,829 MPa

τ_BC = 16·400000/(π·25³) = 130,4 MPa

Antwort

τ_max = 130,4 MPa

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 219,7 MPa

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 100000/31,42 = 3183 N·m

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

Maximale Schubspannung

τ_max = T·(d_o/2)/J = 3,183 × 10⁶·25/362265 = 219,7 MPa

Antwort

τ_max = 219,7 MPa

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: V_x = −25 kN

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·8·4

R_B = 320/8 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Schnitt bei x = 6,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

V = R_A − (alle Lasten nach unten links vom Schnitt)

V_x = 40 − 10·6,5 = −25 kN

Antwort

V_x = −25 kN

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 97,5 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·6 + 5·8·4

R_B = 430/8 = 53,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 53,75 = 31,25 kN

Schnitt bei x = 6 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 31,25·6 − 5·6·3 = 97,5 kN·m

Antwort

M_x = 97,5 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 438,7 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat I_c = bh³/12 und ein Kreis I_c = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (60000·150 − 2827·210)/(60000 − 2827) = 147 mm

Volle Platte um ȳ

200·300³/12 + 60000·2,967² = 450,5 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

π·60⁴/64 + 2827·62,97² = 11,85 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 438,7 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 438,7 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: M_allow = 11,01 kN·m

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

Schwerpunkt

ȳ = (7200·215 + 4000·100)/11200 = 173,9 mm

Oberkante: c = 230 − 173,9 = 56,07 mm

Flächenträgheitsmoment

I = 240·30³/12 + 7200·41,07² + 20·200³/12 + 4000·73,93² = 4,788 × 10⁷ mm⁴

Von jedem Rand zugelassenes Moment

Positives Moment: oben Druck, unten Zug.

Oberkante: M = 120·4,788 × 10⁷/56,07 = 102,5 kN·m

Unterkante: M = 40·4,788 × 10⁷/173,9 = 11,01 kN·m

Maßgebender Wert

M_allow = min = 11,01 kN·m (Unterkante)

Antwort

M_allow = 11,01 kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_y′ = 108,5 MPa

Transformationsgleichung für die y′-Fläche

σ_y′ = 45 − (−75)·0,5 − (−30)·0,866 = 108,5 MPa

Probe

Die Summe der Normalspannungen ändert sich bei einer Drehung nicht.

σ_x′ = −18,48 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 90 = σ_x + σ_y

Antwort

σ_y′ = 108,5 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: n = 5,836

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Fließkriterien: Nach von Mises tritt Fließen ein, wenn σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) die Streckgrenze σ_Y erreicht; nach Tresca, wenn die absolut größte Schubspannung σ_Y/2 erreicht.

Hauptspannungen

C = −5 MPa, R = 30,41 MPa

σ₁ = 25,41 MPa, σ₂ = −35,41 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 60,83 MPa

n = 355/60,83 = 5,836

Antwort

n = 5,836

n > 1 bedeutet, dass der Punkt nicht fließt; Tresca ist etwas konservativer als von Mises.

11.Durchbiegung

Antwort: θ_A = 0,005147 rad

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition). Die Neigung θ = dv/dx ist das erste Integral von M/(EI); in konsistenten Einheiten ergibt sie sich im Bogenmaß.

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Endneigung

θ_A = wL³/(24EI) = 2·2500³/(24·2,53 × 10¹¹) = 0,005147 rad

Antwort

θ_A = 0,005147 rad

Das sind 0,2949°.

12.Durchbiegung

Antwort: I_req = 319,6 × 10⁶ mm⁴

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·5000⁴/(384·11000·13,89) = 3,196 × 10⁸ mm⁴

I_req = 319,6 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_req = 319,6 × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 8,843 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Knicklänge

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/5000² = 8843 N = 8,843 kN

Antwort

P_cr = 8,843 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 105,7 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 3·115000 = 345000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·345000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 105,7 mm

Antwort

d = 105,7 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 132,5, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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