Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 40 mm, E = 200 GPa) steckt in einem Rohr aus Aluminium (Außendurchmesser 120 mm, Innendurchmesser 50 mm, E = 70 GPa). Beide sind 600 mm lang und werden zwischen starren Platten mit 50 kN zusammengedrückt. Bestimme die Verkürzung δ.

P = 50 kNStab: Ø40 mm, E = 200 GPaRohr: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 40 kNAbschnitt 1: Ø35 mm, 1,5 m, Aluminium (E = 70 GPa)Abschnitt 2: Ø20 mm, 0,5 m, Kupfer (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Aluminium mit 3 m Länge überträgt ein Drehmoment von 1000 N·m. Der Verdrehwinkel zwischen ihren Enden darf 0,5° nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der diese Grenze einhält.

T = 1000 N·mL = 3 mG = 26 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Messing überträgt 30 kW bei 1500 rpm. Die Schubspannung darf 40 MPa nicht überschreiten, und die Verdrehung darf 0,25° pro m Länge nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der beide Grenzen einhält.

P = 30 kWN = 1500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

25 kN @ 8 m50 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 1 m bis zum freien Ende C aus. Über die ganze Länge A–C wirkt eine Gleichstreckenlast w. Bestimme das maximale positive Biegemoment M_max zwischen den Auflagern.

L = 9 mw = 3 kN/m von 0 bis 9 mAuflager bei x = 0 und x = 8 m

M_max = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 15 kN·m. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_oben an der Oberkante.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mmM = 15 kN·m

σ_oben = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = −20 MPa, σᵧ = 90 MPa und τₓᵧ = −40 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_s zwischen −90° und 90° von der x-Achse zur Normalen der Ebene, in der die Schubspannung ihren größten positiven Wert +R hat (Schub positiv im gleichen Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = −20 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Eine Vollwelle mit 40 mm Durchmesser überträgt ein Biegemoment von 750 N·m zusammen mit einem Drehmoment von 200 N·m. Bestimme an der Oberseite, wo die Biegespannung eine Zugspannung und am größten ist, die größte Hauptspannung σ₁.

d = 40 mmM = 750 N·mT = 200 N·m

σ₁ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 2,5 m von A. Bestimme die Durchbiegung δ_P unter der Last.

P = 5 kNa = 2,5 mL = 4 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt zwei gleiche Einzellasten P in den Drittelspunkten (L/3 von jedem Auflager). Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

P = 14 kNL = 6 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Sie muss 85 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 85 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 0,03313 mm

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·9346 = 9,056 × 10⁸ N

Verkürzung

δ = 50000·600/9,056 × 10⁸ = 0,03313 mm

Antwort

δ = 0,03313 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 1,435 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 41,58 MPa

σ₂ = 127,3 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 41,58·1500/70000 = 0,8909 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 127,3·500/117000 = 0,5441 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,435 mm

Antwort

δ = 1,435 mm

3.Torsion von Wellen

Antwort: d = 107,7 mm

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Erforderliches polares Flächenträgheitsmoment

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·3000/(26000·0,008727) = 1,322 × 10⁷ mm⁴

Durchmesser

d = (32J/π)^1/4 = 107,7 mm

Antwort

d = 107,7 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 58,15 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Durchmesser aus der Festigkeit

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·40)) = 28,97 mm

Durchmesser aus der Steifigkeit

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 58,15 mm

Maßgebender Durchmesser

Beide Grenzen müssen eingehalten werden, daher ist der größere Durchmesser maßgebend.

d = max(28,97, 58,15) = 58,15 mm

Antwort

d = 58,15 mm

Hier ist die Steifigkeit maßgebend.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: D (x = 6 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 33,33 kN, R₂ = 41,67 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 66,67, M_C = 133,3, M_D = 200 kN·m, M_E = 166,7, M_F = 83,33, M_G = 0

Antwort

Markierung D: M_D = 200 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_max = 23,26 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht am ganzen Balken, einschließlich der Last auf dem Kragarm.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 3·9 = 27 kN, angreifend bei x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·9·4,5

R_B = 121,5/8 = 15,19 kN

ΣF_y = 0: R_A = 27 − 15,19 = 11,81 kN

Querkraftnullstelle

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 11,81/3 = 3,938 m

Maximales positives Moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 11,81²/(2·3) = 23,26 kN·m

Antwort

M_max = 23,26 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 50,06 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

Steg: A_w = 8·300 = 2400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·305 + 2400·150)/5400 = 236,1 mm

Satz von Steiner

Flansch: 300·10³/12 + 3000·(305 − 236,1)² = 1,426 × 10⁷ mm⁴

Steg: 8·300³/12 + 2400·(150 − 236,1)² = 3,58 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,426 × 10⁷ + 3,58 × 10⁷ = 5,006 × 10⁷ mm⁴ = 50,06 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 50,06 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_oben = 20,77 MPa

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

Steg: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·295 + 5600·140)/8600 = 194,1 mm

Satz von Steiner

Flansch: 100·30³/12 + 3000·(295 − 194,1)² = 3,079 × 10⁷ mm⁴

Steg: 20·280³/12 + 5600·(140 − 194,1)² = 5,296 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,079 × 10⁷ + 5,296 × 10⁷ = 8,374 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

Die Oberkante liegt h − ȳ von der Achse entfernt.

y = 310 − 194,1 = 115,9 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·115,9/8,374 × 10⁷ = 20,77 MPa

Antwort

σ_oben = 20,77 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_s = 63,01 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Im Mohrschen Kreis liegt der höchste Punkt (+R) 90° vom Hauptspannungspunkt σ₁ entfernt; am Element sind das 45°.

cos 2θ_s = −40/68,01 = −0,5882, sin 2θ_s = −(−55)/68,01 = 0,8087

2θ_s = atan2(55, −40) = 126°

Winkel am Element

θ_s = 63,01°

Probe: θ_s − θ_p = 63,01 − (−71,99) = 135°

Antwort

θ_s = 63,01°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ₁ = 121,5 MPa

Spannungen an der Oberfläche

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·40³) = 119,4 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·40³) = 15,92 MPa

Mohrscher Spannungskreis

C = σ/2 = 59,68 MPa

R = √(59,68² + 15,92²) = 61,77 MPa

σ₁ = C + R = 121,5 MPa

σ₂ = C − R = −2,086 MPa

Antwort

σ₁ = 121,5 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_P = 3,1 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 5000 N, a = 2500 mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δ_P = Pa³/(3EI) = 5000·2500³/(3·8,4 × 10¹²) = 3,1 mm

Antwort

δ_P = 3,1 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 9,583 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 14000 N, L = 6000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Eine Last bei L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm

δ₁ = 4,792 mm

Beide Lasten addieren

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 9,583 mm

Antwort

δ_max = 9,583 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 6,867 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6,867 kN

Antwort

P_cr = 6,867 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 81,38 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2·85000 = 170000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 81,38 mm

Antwort

d = 81,38 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 245,8, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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