Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Stahl unter der axialen Last.

P = 35 kNd = 10 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 35 kNAbschnitt 1: Ø35 mm, 0,5 m, Messing (E = 100 GPa)Abschnitt 2: Ø12 mm, 2 m, Messing (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Stahl mit 3 m Länge überträgt ein Drehmoment von 2000 N·m. Der Verdrehwinkel zwischen ihren Enden darf 0,5° nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der diese Grenze einhält.

T = 2000 N·mL = 3 mG = 80 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Stahl überträgt 20 kW bei 750 rpm. Die Schubspannung darf 75 MPa nicht überschreiten, und die Verdrehung darf 1° pro m Länge nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der beide Grenzen einhält.

P = 20 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

55 kN @ 2 m8 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Einfeldträger trägt auf einem Teil seiner Spannweite eine Gleichstreckenlast. Bestimme das maximale Biegemoment M_max im Balken.

L = 8 mw = 12 kN/m von 1 bis 7 m

M_max = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein geschweißter I-Querschnitt hat einen Obergurt 160 × 10 mm, einen Steg mit 220 mm Höhe und 16 mm Dicke sowie einen Untergurt 210 × 20 mm (Breite × Dicke). Bestimme sein Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse x durch seinen Schwerpunkt.

Obergurt: 160 × 10 mmSteg: 16 × 220 mmUntergurt: 210 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −30 MPa, σᵧ = 80 MPa und τₓᵧ = −30 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

σ_x = −30 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −50 MPa, σᵧ = 40 MPa und τₓᵧ = −60 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 50° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = −50 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Holzbalken als Einfeldträger mit Rechteckquerschnitt, 75 mm breit, trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung in Feldmitte darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme die kleinste Querschnittshöhe h_req.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (Holz)b = 75 mm

h_req = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (Stahl)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Sie muss 80 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 80 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 6,685 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 35·1000/78,54 = 445,6 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Stahl = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 445,6/200000 = 0,002228 = 2228 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,002228·3000 mm = 6,685 mm

Antwort

δ = 6,685 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 309,5 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 36,38 MPa

σ₂ = 309,5 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 309,5 MPa

Antwort

σ_max = 309,5 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: d = 96,73 mm

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Erforderliches polares Flächenträgheitsmoment

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·3000/(80000·0,008727) = 8,594 × 10⁶ mm⁴

Durchmesser

d = (32J/π)^1/4 = 96,73 mm

Antwort

d = 96,73 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 36,92 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Durchmesser aus der Festigkeit

T = 254,6 N·m = 254648 N·mm

d_τ = ∛(16·254648/(π·75)) = 25,86 mm

Durchmesser aus der Steifigkeit

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·254648/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 36,92 mm

Maßgebender Durchmesser

Beide Grenzen müssen eingehalten werden, daher ist der größere Durchmesser maßgebend.

d = max(25,86, 36,92) = 36,92 mm

Antwort

d = 36,92 mm

Hier ist die Steifigkeit maßgebend.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: C (x = 2 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 60,67 kN, R₂ = 42,33 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 56,67, M_C = 105,3 kN·m, M_D = 91, M_E = 68,67, M_F = 38,33, M_G = 0

Antwort

Markierung C: M_C = 105,3 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_max = 90 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·6·4

R_B = 288/8 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 36 = 36 kN

Querkraftnullstelle

Die Querkraft beginnt bei R_A, bleibt über unbelastete Abschnitte konstant und fällt innerhalb der Last mit der Steigung w.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 36/12 = 4 m

Maximales Moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 36·4 − 12·3²/2 = 90 kN·m

Antwort

M_max = 90 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 57,03 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

Steg: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·270 + 3120·130)/8720 = 219,9 mm

Satz von Steiner

Flansch: 280·20³/12 + 5600·(270 − 219,9)² = 1,424 × 10⁷ mm⁴

Steg: 12·260³/12 + 3120·(130 − 219,9)² = 4,28 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,424 × 10⁷ + 4,28 × 10⁷ = 5,703 × 10⁷ mm⁴ = 57,03 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 57,03 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 85 × 10⁶ mm⁴

In drei Rechtecke aufteilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Obergurt: A = 1600 mm², y = 245 mm

Steg: A = 3520 mm², y = 130 mm

Untergurt: A = 4200 mm², y = 10 mm

Schwerpunkt

ȳ = (1600·245 + 3520·130 + 4200·10)/9320 = 95,67 mm

Satz von Steiner

Obergurt: 160·10³/12 + 1600·149,3² = 3,569 × 10⁷ mm⁴

Steg: 16·220³/12 + 3520·34,33² = 1,835 × 10⁷ mm⁴

Untergurt: 210·20³/12 + 4200·85,67² = 3,096 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,569 × 10⁷ + 1,835 × 10⁷ + 3,096 × 10⁷

I_x = 8,5 × 10⁷ mm⁴ = 85 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 85 × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 62,65 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Radius des Mohrschen Kreises

τ_max = R = √(((−30 − 80)/2)² + −30²) = 62,65 MPa

Antwort

τ_max = 62,65 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = −56,27 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = −5 + −45·−0,1736 + −60·0,9848 = −56,27 MPa

Antwort

σ_θ = −56,27 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 20,4 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 5000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·5000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 20,4 mm

Antwort

δ_max = 20,4 mm

12.Durchbiegung

Antwort: h_req = 205,9 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4000⁴/(384·11000·11,11) = 5,455 × 10⁷ mm⁴

Erforderliche Höhe

bh³/12 = I_req → h = (12·5,455 × 10⁷/75)^1/3 = 205,9 mm

Antwort

h_req = 205,9 mm

In der Praxis wählt man die nächste Standardhöhe über diesem Wert.

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 62,01 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Knicklänge

KL = 2·4000 = 8000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/8000² = 62013 N = 62,01 kN

Antwort

P_cr = 62,01 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 87,19 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2·80000 = 160000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 87,19 mm

Antwort

d = 87,19 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 160,6, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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