Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab besteht aus einem Segment aus Stahl (Durchmesser 25 mm, Länge 300 mm, E = 200 GPa), das stumpf mit einem Segment aus Bronze (Durchmesser 40 mm, Länge 400 mm, E = 110 GPa) verbunden ist. Er ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen gezogen. Bestimme die axiale Last P, die ihn insgesamt um 0,3 mm dehnt.

Segment 1: Stahl, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaSegment 2: Bronze, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 30 mm, E = 200 GPa, zulässige Spannung 200 MPa) steckt in einem Rohr aus Bronze (Außendurchmesser 120 mm, Innendurchmesser 60 mm, E = 110 GPa, zulässige Spannung 100 MPa). Sie werden zwischen starren Platten zusammengedrückt. Bestimme die größte Last P_max.

Stab: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaRohr: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Torsion von WellenMittel

In einem Torsionsversuch wird eine Vollprobe mit 15 mm Durchmesser durch ein Drehmoment von 40 N·m verdreht. Die beiden Enden einer Messlänge von 300 mm verdrehen sich um 3,55° gegeneinander (der Werkstoff ist noch elastisch). Bestimme den Schubmodul G des Werkstoffs.

T = 40 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 3,55°

G = GPa

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle soll 50 kW bei 1500 U/min übertragen, ohne dass die Schubspannung 60 MPa überschreitet. Bestimme den kleinsten geeigneten Durchmesser d.

P = 50 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Der Einfeldträger trägt bei x = 3 m von A ein Moment M₀ = 35 kN·m im Uhrzeigersinn und sonst keine Last. Bestimme das Biegemoment M_x unmittelbar rechts vom eingeprägten Moment. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 4 mM₀ = 35 kN·m im Uhrzeigersinn, bei 3 m

M_x = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 2 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 8 mP = 10 kN bei 2 mw = 8 kN/m von 0 bis 8 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein U-Profil liegt mit der offenen Seite nach oben: eine Bodenplatte von 280 mm Breite mit zwei senkrechten Schenkeln, insgesamt 150 mm hoch. Boden und Schenkel sind alle 8 mm dick. Bestimme die Höhe ȳ des Schwerpunkts über der Unterkante.

b = 280 mmh = 150 mmt = 8 mm

ȳ = mm

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein Gusseisenträger hat den dargestellten T-Querschnitt mit dem Flansch oben. Die zulässigen Spannungen betragen 35 MPa auf Zug und 90 MPa auf Druck. Bestimme das größte positive Biegemoment M_allow, das der Träger aufnehmen kann.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = −40 MPa und σᵧ = −50 MPa. Wie groß darf die Schubspannung τ_xy (Betrag) werden, bevor die größte Hauptspannung 10 MPa erreicht?

σ_x = −40 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = 10 MPa

τ_xy = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −70 MPa, σᵧ = 100 MPa und τₓᵧ = 40 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 45° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = −70 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Holzbalken als Einfeldträger mit Rechteckquerschnitt, 125 mm breit, trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung in Feldmitte darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme die kleinste Querschnittshöhe h_req.

w = 1,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (Holz)b = 125 mm

h_req = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P = 50,42 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Nachgiebigkeiten

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·1257) = 2,894 × 10⁻⁶ mm/N

Last

P = 0,3/5,95 × 10⁻⁶ = 50424 N = 50,42 kN

Antwort

P = 50,42 kN

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P_max = 976,7 kN

Flächen

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·8482 = 1,074 × 10⁹ N

Maßgebende Dehnung

ε = min(0,001, 0,0009091) = 0,0009091 (Bronze)

Größte Last

P_max = 0,0009091·1,074 × 10⁹ = 976750 N = 976,7 kN

Antwort

P_max = 976,7 kN

3.Torsion von Wellen

Antwort: G = 38,97 GPa

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment und Winkel

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 3,55·π/180 = 0,06196 rad

Schubmodul

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·300/(4970·0,06196) = 38968 MPa

G = 38,97 GPa

Antwort

G = 38,97 GPa

Zum Vergleich: Stahl ≈ 80 GPa, Messing ≈ 39 GPa, Aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 30,01 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Durchmesser aus der zulässigen Spannung

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·318310/(π·60)) = 30,01 mm

Antwort

d = 30,01 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 8,75 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Ein eingeprägtes Moment lässt die Momentenlinie um die Größe dieses Moments springen.

Auflagerkräfte

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv: R_B·L − M₀ = 0. Vertikales Gleichgewicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 35/4 = 8,75 kN (nach oben)

R_A = −R_B = −8,75 kN (nach unten)

Schnitt unmittelbar rechts vom eingeprägten Moment

Der linke Teil enthält jetzt R_A und das eingeprägte Moment.

M_x = R_A·a + M₀ = −8,75·3 + 35 = 8,75 kN·m

Antwort

M_x = 8,75 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 63 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·2 + 8·8·4

R_B = 276/8 = 34,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 74 − 34,5 = 39,5 kN

Schnitt bei x = 2 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 39,5·2 − 8·2·1 = 63 kN·m

Antwort

M_x = 63 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: ȳ = 41,77 mm

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In Rechtecke aufteilen

Nimm den Boden über die ganze Breite und die beiden Schenkel darüber (Höhe h − t), damit nichts doppelt gezählt wird.

Grundlage: A₁ = 280·8 = 2240 mm², y₁ = 4 mm

zwei Schenkel: A₂ = 2·8·142 = 2272 mm², y₂ = 8 + 142/2 = 79 mm

Schwerpunkt

ȳ = (2240·4 + 2272·79)/4512 = 41,77 mm

Antwort

ȳ = 41,77 mm

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: M_allow = 1,66 kN·m

Schwerpunkt

ȳ = (5200·110 + 1200·50)/6400 = 98,75 mm

Oberkante: c = 120 − 98,75 = 21,25 mm

Flächenträgheitsmoment

I = 260·20³/12 + 5200·11,25² + 12·100³/12 + 1200·48,75² = 4,683 × 10⁶ mm⁴

Von jedem Rand zugelassenes Moment

Positives Moment: oben Druck, unten Zug.

Oberkante: M = 90·4,683 × 10⁶/21,25 = 19,84 kN·m

Unterkante: M = 35·4,683 × 10⁶/98,75 = 1,66 kN·m

Maßgebender Wert

M_allow = min = 1,66 kN·m (Unterkante)

Antwort

M_allow = 1,66 kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_xy = 54,77 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Erforderlicher Radius

C = (−40 + (−50))/2 = −45 MPa

R = σ₁ − C = 10 − (−45) = 55 MPa

Schubspannung

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 5²) = 54,77 MPa

Antwort

τ_xy = 54,77 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = 55 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = 15 + −85·0 + 40·1 = 55 MPa

Antwort

σ_θ = 55 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 12,24 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 5000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 12,24 mm

Antwort

δ_max = 12,24 mm

12.Durchbiegung

Antwort: h_req = 197,2 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·5000⁴/(384·11000·13,89) = 7,99 × 10⁷ mm⁴

Erforderliche Höhe

bh³/12 = I_req → h = (12·7,99 × 10⁷/125)^1/3 = 197,2 mm

Antwort

h_req = 197,2 mm

In der Praxis wählt man die nächste Standardhöhe über diesem Wert.

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 8,478 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Knicklänge

KL = 2·2500 = 5000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8,478 kN

Antwort

P_cr = 8,478 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 17,27 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/20 = 200

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Antwort

σ_cr = 17,27 MPa

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