Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Kupfer, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 25 mm, E = 200 GPa, zulässige Spannung 150 MPa) steckt in einem Rohr aus Kupfer (Außendurchmesser 120 mm, Innendurchmesser 70 mm, E = 120 GPa, zulässige Spannung 80 MPa). Sie werden zwischen starren Platten zusammengedrückt. Bestimme die größte Last P_max.

Stab: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaRohr: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Torsion von WellenMittel

Eine Hohlwelle soll ein Drehmoment von 2000 N·m übertragen. Ihr Innendurchmesser soll das 0,8-Fache ihres Außendurchmessers betragen, und die Schubspannung darf 50 MPa nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Außendurchmesser d_o.

T = 2000 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle soll 15 kW bei 300 rpm übertragen. Ihr Innendurchmesser soll das 0,7-Fache ihres Außendurchmessers betragen, und die Schubspannung darf 80 MPa nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Außendurchmesser d_o.

P = 15 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

50 kN @ 10 m15 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

50 kN @ 12 m45 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 170 mm Breite und 20 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 480 mm und einen Steg mit 10 mm Dicke. Bestimme sein Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Schwerachse x.

B = 170 mmH = 480 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 10 kN·m. Bestimme die Biegespannung σ_unten an der Unterkante.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mmM = 10 kN·m

σ_unten = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = −10 MPa, σᵧ = −70 MPa und τₓᵧ = −40 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_s zwischen −90° und 90° von der x-Achse zur Normalen der Ebene, in der die Schubspannung ihren größten positiven Wert +R hat (Schub positiv im gleichen Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = −10 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Eine Vollwelle mit 50 mm Durchmesser überträgt ein Biegemoment von 1500 N·m zusammen mit einem Drehmoment von 500 N·m. Bestimme an der Oberseite, wo die Biegespannung eine Zugspannung und am größten ist, die größte Hauptspannung σ₁.

d = 50 mmM = 1500 N·mT = 500 N·m

σ₁ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und an seinem freien Ende eine Einzellast P. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ am freien Ende.

P = 16 kNw = 4 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment I_req, das diese Grenze einhält.

w = 5 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (Aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (Stahl)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 1913 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 45·1000/201,1 = 223,8 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Kupfer = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 223,8/117000 = 0,001913 = 1913 µε

Antwort

ε = 1913 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P_max = 662,4 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·7461 = 9,935 × 10⁸ N

Maßgebende Dehnung

ε = min(0,00075, 0,0006667) = 0,0006667 (Kupfer)

Größte Last

P_max = 0,0006667·9,935 × 10⁸ = 662352 N = 662,4 kN

Antwort

P_max = 662,4 kN

3.Torsion von Wellen

Antwort: d_o = 70,14 mm

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Außendurchmesser aus der zulässigen Spannung

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·50·0,5904)) = 70,14 mm

d_i = 0,8·70,14 = 56,11 mm

Antwort

d_o = 70,14 mm

Eine Vollwelle bräuchte d = 58,84 mm; die Hohlwelle ist etwas größer, aber viel leichter.

4.Torsion von Wellen

Antwort: d_o = 34,2 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Außendurchmesser aus der zulässigen Spannung

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·477465/(π·80·0,7599)) = 34,2 mm

d_i = 0,7·34,2 = 23,94 mm

Antwort

d_o = 34,2 mm

Eine Vollwelle bräuchte d = 31,21 mm; die Hohlwelle ist etwas größer, aber viel leichter.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: F (x = 10 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 18,33 kN, R₂ = 46,67 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 36,67, M_C = 73,33, M_D = 80, M_E = 86,67, M_F = 93,33 kN·m, M_G = 0

Antwort

Markierung F: M_F = 93,33 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: F (x = 10 m)

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 8 kN, R₂ = 87 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 16, M_C = 32, M_D = 48, M_E = −26, M_F = −100 kN·m, M_G = 0

Antwort

Markierung F: M_F = −100 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 430,9 × 10⁶ mm⁴

Flächenträgheitsmoment: Für ein Rechteck gilt um seine eigene Schwerachse I = bh³/12 und um seine Grundlinie bh³/3 (Satz von Steiner I = I_c + A·d²). Ein Loch wird berücksichtigt, indem man sein I abzieht, solange beide Teile dieselbe Achse haben. Das elastische Widerstandsmoment ist S = I/c, wobei c der Abstand zur Randfaser ist.

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − t_w) breit und h_w = H − 2t_f hoch und haben die Achse x gemeinsam.

h_w = 480 − 2·20 = 440 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·480³ − 160·440³)/12

I_x = 4,309 × 10⁸ mm⁴ = 430,9 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 430,9 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_unten = 28,36 MPa

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

Steg: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·272,5 + 4160·130)/11660 = 221,7 mm

Satz von Steiner

Flansch: 300·25³/12 + 7500·(272,5 − 221,7)² = 1,978 × 10⁷ mm⁴

Steg: 16·260³/12 + 4160·(130 − 221,7)² = 5,838 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,978 × 10⁷ + 5,838 × 10⁷ = 7,816 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

Die Unterkante liegt ȳ von der Achse entfernt.

y = 221,7 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·221,7/7,816 × 10⁷ = 28,36 MPa

Antwort

σ_unten = 28,36 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_s = −71,57 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Im Mohrschen Kreis liegt der höchste Punkt (+R) 90° vom Hauptspannungspunkt σ₁ entfernt; am Element sind das 45°.

cos 2θ_s = −40/50 = −0,8, sin 2θ_s = −30/50 = −0,6

2θ_s = atan2(−30, −40) = −143,1°

Winkel am Element

θ_s = −71,57°

Probe: θ_s − θ_p = −71,57 − (−26,57) = −45°

Antwort

θ_s = −71,57°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ₁ = 125,5 MPa

Spannungen an der Oberfläche

σ = 32M/(πd³) = 32·1500000/(π·50³) = 122,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·50³) = 20,37 MPa

Mohrscher Spannungskreis

C = σ/2 = 61,12 MPa

R = √(61,12² + 20,37²) = 64,42 MPa

σ₁ = C + R = 125,5 MPa

σ₂ = C − R = −3,306 MPa

Antwort

σ₁ = 125,5 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ = 63,89 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 16000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(3EI) = 16000·2500³/(3·1,61 × 10¹²) = 51,76 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·2500⁴/(8·1,61 × 10¹²) = 12,13 mm

Addieren

δ = 51,76 + 12,13 = 63,89 mm

Antwort

δ = 63,89 mm

12.Durchbiegung

Antwort: I_req = 1,13 × 10⁶ mm⁴

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·1500⁴/(384·70000·4,167) = 1,13 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,13 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_req = 1,13 × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 14,62 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/3000² = 14622 N = 14,62 kN

Antwort

P_cr = 14,62 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 27,76 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7,5 = 266,7

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Antwort

σ_cr = 27,76 MPa

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