Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Kupfer unter der axialen Last.

P = 20 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 35 kNAbschnitt 1: Ø40 mm, 1 m, Stahl (E = 200 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 0,5 m, Kupfer (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsion von WellenMittel

Eine Hohlwelle aus Stahl (Außendurchmesser 30 mm, Innendurchmesser 21 mm, Länge 1 m) ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen durch ein Drehmoment von 200 N·m verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ in Grad.

T = 200 N·md_o = 30 mmd_i = 21 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Messing mit 40 mm Durchmesser ist in A eingespannt. In B, 1,5 m von A entfernt, wirkt ein Drehmoment von 2000 N·m, und am freien Ende C, weitere 0,5 m entfernt, wirkt ein Drehmoment von 750 N·m im entgegengesetzten Drehsinn. Bestimme den Betrag des Verdrehwinkels φ_C des Endes C in Grad.

d = 40 mmT_B = 2000 N·mT_C = 750 N·mAB = 1,5 mBC = 0,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

10 kN @ 1 m10 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P. Bestimme das maximale Biegemoment M_max im Balken.

L = 8 mP = 30 kN bei 3 mw = 12 kN/m von 0 bis 8 m

M_max = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 40 kN·m. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_oben an der Oberkante.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mmM = 40 kN·m

σ_oben = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −50 MPa, σᵧ = 120 MPa und τₓᵧ = 20 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

σ_x = −50 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein dünnwandiger zylindrischer Behälter mit 800 mm Innendurchmesser und 8 mm Wanddicke enthält Gas mit einem Überdruck von 2,5 MPa. Er ist aus Blech gefertigt, das entlang einer schraubenförmigen Naht unter 35° zur Zylinderachse verschweißt ist. Bestimme die Normalspannung σ_n, die quer zur Schweißnaht wirkt.

D = 800 mmt = 8 mmp = 2,5 MPaα = 35°

σ_n = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Neigung θ_A des Balkens am Auflager A im Bogenmaß.

w = 6 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (Stahl)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

P = 13 kNw = 6 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (Stahl)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (Stahl)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 0,8162 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 20·1000/314,2 = 63,66 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Kupfer = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 63,66/117000 = 0,0005441 = 544,1 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,0005441·1500 mm = 0,8162 mm

Antwort

δ = 0,8162 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 0,8832 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 27,85 MPa

σ₂ = 174,1 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 27,85·1000/200000 = 0,1393 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 174,1·500/117000 = 0,7439 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,8832 mm

Antwort

δ = 0,8832 mm

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 2,37 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴

Verdrehwinkel

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 200000·1000/(80000·60428) = 0,04137 rad

φ = 0,04137·180/π = 2,37°

Antwort

φ = 2,37°

4.Torsion von Wellen

Antwort: φ_C = 8,768 °

Innere Drehmomente

Drehsinn von T_C als positiv angenommen.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C − T_B = 750 − 2000 = −1250 N·m

Verdrehung jedes Abschnitts

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −1,25 × 10⁶·1500/(39000·251327) = −0,1913 rad

φ_BC = 750000·500/(39000·251327) = 0,03826 rad

Verdrehung des Endes C

φ_C = −0,1913 + 0,03826 = −0,153 rad → |φ_C| = 8,768°

Antwort

φ_C = 8,768°

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 4 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 11,67 kN, R₂ = 8,333 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 11,67, M_C = 13,33, M_D = 15, M_E = 16,67 kN·m, M_F = 8,333, M_G = 0

Antwort

Markierung E: M_E = 16,67 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_max = 146,3 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·3 + 12·8·4

R_B = 474/8 = 59,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 126 − 59,25 = 66,75 kN

Wo ist V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (66,75 − 30)/12 = 3,063 m

Maximales Moment

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 3) − w·x₀²/2 = 146,3 kN·m

Antwort

M_max = 146,3 kN·m

Es tritt bei x = 3,063 m von A auf.

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 15,94 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

Steg: A_w = 8·200 = 1600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·205 + 1600·100)/4000 = 163 mm

Satz von Steiner

Flansch: 240·10³/12 + 2400·(205 − 163)² = 4,254 × 10⁶ mm⁴

Steg: 8·200³/12 + 1600·(100 − 163)² = 1,168 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,254 × 10⁶ + 1,168 × 10⁷ = 1,594 × 10⁷ mm⁴ = 15,94 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 15,94 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_oben = 117,8 MPa

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

Steg: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·207,5 + 4000·100)/5800 = 133,4 mm

Satz von Steiner

Flansch: 120·15³/12 + 1800·(207,5 − 133,4)² = 9,927 × 10⁶ mm⁴

Steg: 20·200³/12 + 4000·(100 − 133,4)² = 1,779 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,927 × 10⁶ + 1,779 × 10⁷ = 2,771 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

Die Oberkante liegt h − ȳ von der Achse entfernt.

y = 215 − 133,4 = 81,64 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·81,64/2,771 × 10⁷ = 117,8 MPa

Antwort

σ_oben = 117,8 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 87,32 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Radius des Mohrschen Kreises

τ_max = R = √(((−50 − 120)/2)² + 20²) = 87,32 MPa

Antwort

τ_max = 87,32 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_n = 104,4 MPa

Spannungen in der Wand

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 2,5·400/8 = 125 MPa

σ_a = pr/(2t) = 62,5 MPa

Auf die Naht transformieren

Lege x entlang der Achse (σ_a) und y in Umfangsrichtung (σ_h). Die Normale der Naht bildet mit der Achse den Winkel 90° − α.

σ_n = 62,5·sin²35° + 125·cos²35° = 104,4 MPa

Antwort

σ_n = 104,4 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: θ_A = 0,007619 rad

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition). Die Neigung θ = dv/dx ist das erste Integral von M/(EI); in konsistenten Einheiten ergibt sie sich im Bogenmaß.

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Endneigung

θ_A = wL³/(24EI) = 6·8000³/(24·1,68 × 10¹³) = 0,007619 rad

Antwort

θ_A = 0,007619 rad

Das sind 0,4365°.

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 3,035 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 13000 N, w = 6 N/mm, L = 2500 mm, EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(48EI) = 13000·2500³/(48·2,4 × 10¹²) = 1,763 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 1,272 mm

Addieren

δ_max = 1,763 + 1,272 = 3,035 mm

Antwort

δ_max = 3,035 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 92,12 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Knicklänge

KL = 1·2500 = 2500 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/2500² = 92116 N = 92,12 kN

Antwort

P_cr = 92,12 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 16,11 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/5 = 350

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/350² = 16,11 MPa

Antwort

σ_cr = 16,11 MPa

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