Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Messing, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 30 mmL = 3 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 80 kNAbschnitt 1: Ø35 mm, 0,5 m, Messing (E = 100 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 2 m, Stahl (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Aluminium ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 500 N·md = 40 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle soll 100 kW bei 1450 U/min übertragen, ohne dass die Schubspannung 80 MPa überschreitet. Bestimme den kleinsten geeigneten Durchmesser d.

P = 100 kWN = 1450 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Der Einfeldträger trägt bei x = 4,5 m von A ein Moment M₀ = 35 kN·m im Uhrzeigersinn und sonst keine Last. Bestimme das Biegemoment M_x unmittelbar rechts vom eingeprägten Moment. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 6 mM₀ = 35 kN·m im Uhrzeigersinn, bei 4,5 m

M_x = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 4,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 8 mP = 55 kN bei 1 mw = 6 kN/m von 0 bis 8 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 120 mm Breite und 24 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 340 mm und einen Steg mit 6 mm Dicke. Bestimme sein elastisches Widerstandsmoment S_x für Biegung um die horizontale Schwerachse x.

B = 120 mmH = 340 mmt_f = 24 mmt_w = 6 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 40 kN·m. Bestimme die Biegespannung σ_unten an der Unterkante.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 300 mmM = 40 kN·m

σ_unten = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = 140 MPa und σᵧ = −10 MPa. Wie groß darf die Schubspannung τ_xy (Betrag) werden, bevor die größte Hauptspannung 170 MPa erreicht?

σ_x = 140 MPaσ_y = −10 MPaσ₁ = 170 MPa

τ_xy = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 30 MPa und τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). Der Werkstoff hat eine Streckgrenze von 420 MPa. Bestimme die Sicherheit n gegen Fließen nach dem Kriterium von Tresca (Schubspannungshypothese).

σ_x = 60 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −30 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand a = 3 m vom Auflager A. Bestimme die Durchbiegung δ_P unter der Last.

P = 11 kNa = 3 mL = 4 mE = 200 GPa (Stahl)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

P = 15 kNw = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Sie muss 55 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 55 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 1344 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 95·1000/706,9 = 134,4 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 134,4/100000 = 0,001344 = 1344 µε

Antwort

ε = 1344 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 4,395 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 83,15 MPa

σ₂ = 397,9 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 83,15·500/100000 = 0,4158 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 397,9·2000/200000 = 3,979 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,395 mm

Antwort

δ = 4,395 mm

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 4,384 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(26000·251327) = 0,07652 rad

φ = 0,07652·180/π = 4,384°

Antwort

φ = 4,384°

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 34,74 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 100000/151,8 = 658,6 N·m

Durchmesser aus der zulässigen Spannung

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·658572/(π·80)) = 34,74 mm

Antwort

d = 34,74 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 8,75 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Ein eingeprägtes Moment lässt die Momentenlinie um die Größe dieses Moments springen.

Auflagerkräfte

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv: R_B·L − M₀ = 0. Vertikales Gleichgewicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 35/6 = 5,833 kN (nach oben)

R_A = −R_B = −5,833 kN (nach unten)

Schnitt unmittelbar rechts vom eingeprägten Moment

Der linke Teil enthält jetzt R_A und das eingeprägte Moment.

M_x = R_A·a + M₀ = −5,833·4,5 + 35 = 8,75 kN·m

Antwort

M_x = 8,75 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 71,31 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·1 + 6·8·4

R_B = 247/8 = 30,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 103 − 30,88 = 72,13 kN

Schnitt bei x = 4,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 72,13·4,5 − 55·(4,5 − 1) − 6·4,5·2,25 = 71,31 kN·m

Antwort

M_x = 71,31 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: S_x = 920,7 × 10³ mm³

Flächenträgheitsmoment: Für ein Rechteck gilt um seine eigene Schwerachse I = bh³/12 und um seine Grundlinie bh³/3 (Satz von Steiner I = I_c + A·d²). Ein Loch wird berücksichtigt, indem man sein I abzieht, solange beide Teile dieselbe Achse haben. Das elastische Widerstandsmoment ist S = I/c, wobei c der Abstand zur Randfaser ist.

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − t_w) breit und h_w = H − 2t_f hoch und haben die Achse x gemeinsam.

h_w = 340 − 2·24 = 292 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·340³ − 114·292³)/12

I_x = 1,565 × 10⁸ mm⁴

Widerstandsmoment

c = H/2 = 170 mm

S_x = I/c = 1,565 × 10⁸/170

S_x = 920692 mm³ = 920,7 × 10³ mm³

Antwort

S_x = 920,7 × 10³ mm³

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_unten = 82,75 MPa

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 300 + 30/2 = 315 mm

Steg: A_w = 18·300 = 5400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·315 + 5400·150)/10200 = 227,6 mm

Satz von Steiner

Flansch: 160·30³/12 + 4800·(315 − 227,6)² = 3,699 × 10⁷ mm⁴

Steg: 18·300³/12 + 5400·(150 − 227,6)² = 7,306 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,699 × 10⁷ + 7,306 × 10⁷ = 1,1 × 10⁸ mm⁴

Biegespannung

Die Unterkante liegt ȳ von der Achse entfernt.

y = 227,6 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·227,6/1,1 × 10⁸ = 82,75 MPa

Antwort

σ_unten = 82,75 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_xy = 73,48 MPa

Erforderlicher Radius

C = (140 + (−10))/2 = 65 MPa

R = σ₁ − C = 170 − 65 = 105 MPa

Schubspannung

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(105² − 75²) = 73,48 MPa

Antwort

τ_xy = 73,48 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: n = 5,348

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Fließkriterien: Nach von Mises tritt Fließen ein, wenn σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) die Streckgrenze σ_Y erreicht; nach Tresca, wenn die absolut größte Schubspannung σ_Y/2 erreicht.

Hauptspannungen

C = 45 MPa, R = 33,54 MPa

σ₁ = 78,54 MPa, σ₂ = 11,46 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 78,54 MPa

n = 420/78,54 = 5,348

Antwort

n = 5,348

n > 1 bedeutet, dass der Punkt nicht fließt; Tresca ist etwas konservativer als von Mises.

11.Durchbiegung

Antwort: δ_P = 1,146 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 11000 N, a = 3000 mm, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 11000·3000²·1000²/(3·7,2 × 10¹²·4000) = 1,146 mm

Antwort

δ_P = 1,146 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 7,401 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 15000 N, w = 20 N/mm, L = 3000 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(48EI) = 15000·3000³/(48·3,99 × 10¹²) = 2,115 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·3000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 5,287 mm

Addieren

δ_max = 2,115 + 5,287 = 7,401 mm

Antwort

δ_max = 7,401 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 4,395 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Knicklänge

KL = 2·5000 = 10000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/10000² = 4395 N = 4,395 kN

Antwort

P_cr = 4,395 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 80,78 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 80,78 mm

Antwort

d = 80,78 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 247,6, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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