Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 30 mm, E = 200 GPa) steckt in einem Rohr aus Messing (Außendurchmesser 120 mm, Innendurchmesser 70 mm, E = 100 GPa). Beide sind 400 mm lang und werden zwischen starren Platten mit 150 kN zusammengedrückt. Bestimme die Verkürzung δ.

P = 150 kNStab: Ø30 mm, E = 200 GPaRohr: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Segment aus Stahl (Durchmesser 25 mm, Länge 400 mm, E = 200 GPa) und ein Segment aus Messing (Durchmesser 40 mm, Länge 400 mm, E = 100 GPa) sind stumpf verbunden und zwischen zwei starren Wänden eingespannt. Am Übergang wirkt eine axiale Last von 20 kN in Richtung Segment 2. Bestimme den Betrag der Spannung σ₂ in Segment 2.

Segment 1: Stahl, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPaSegment 2: Messing, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Hohlwelle aus Messing (Außendurchmesser 75 mm, Innendurchmesser 53 mm, Länge 2,5 m) ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen durch ein Drehmoment von 250 N·m verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ in Grad.

T = 250 N·md_o = 75 mmd_i = 53 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle überträgt 50 kW bei 750 U/min. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

P = 50 kWN = 750 rpmd_o = 100 mmd_i = 50 mm

τ_max = MPa

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 3,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 10 mw = 10 kN/m von 0 bis 10 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

10 kN @ 0 m25 kN @ 12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein U-Profil liegt mit der offenen Seite nach oben: eine Bodenplatte von 180 mm Breite mit zwei senkrechten Schenkeln, insgesamt 90 mm hoch. Boden und Schenkel sind alle 18 mm dick. Bestimme sein Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b = 180 mmh = 90 mmt = 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein geschweißter I-Querschnitt hat einen Obergurt 110 × 20 mm, einen Steg mit 270 mm Höhe und 12 mm Dicke sowie einen Untergurt 180 × 20 mm (Breite × Dicke). Bestimme sein Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse x durch seinen Schwerpunkt.

Obergurt: 110 × 20 mmSteg: 12 × 270 mmUntergurt: 180 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = 100 MPa, σᵧ = −70 MPa und τₓᵧ = 60 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_s zwischen −90° und 90° von der x-Achse zur Normalen der Ebene, in der die Schubspannung ihren größten positiven Wert +R hat (Schub positiv im gleichen Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 120 MPa, σᵧ = 90 MPa und τₓᵧ = 10 MPa (Zug positiv). Bestimme die Schubspannung τ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 30° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist (positiv im selben Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 30°

τ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Durchbiegung δ am freien Ende.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment I_req, das diese Grenze einhält.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (Holz)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (Stahl)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 0,06761 mm

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·7461 = 8,875 × 10⁸ N

Verkürzung

δ = 150000·400/8,875 × 10⁸ = 0,06761 mm

Antwort

δ = 0,06761 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ₂ = 8,935 MPa

Steifigkeiten

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 100000·1257/400 = 314159 N/mm

Anteil von Segment 2

F₂ = 20000·314159/559596 = 11228 N

Spannung

σ₂ = 11228/1257 = 8,935 MPa (Druck)

Antwort

σ₂ = 8,935 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 0,3938 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2,332 × 10⁶ mm⁴

Verdrehwinkel

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·2500/(39000·2,332 × 10⁶) = 0,006873 rad

φ = 0,006873·180/π = 0,3938°

Antwort

φ = 0,3938°

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 3,458 MPa

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(100⁴ − 50⁴)/32 = 9,204 × 10⁶ mm⁴

Maximale Schubspannung

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·50/9,204 × 10⁶ = 3,458 MPa

Antwort

τ_max = 3,458 MPa

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 113,8 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, angreifend bei x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·10·5

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

Schnitt bei x = 3,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 50·3,5 − 10·3,5·1,75 = 113,8 kN·m

Antwort

M_x = 113,8 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: F (x = 10 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 6,25 kN, R₂ = 28,75 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = −20, M_C = −27,5, M_D = −35, M_E = −42,5, M_F = −50 kN·m, M_G = 0

Antwort

Markierung F: M_F = −50 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 4,123 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In Rechtecke aufteilen

Nimm den Boden über die ganze Breite und die beiden Schenkel darüber (Höhe h − t), damit nichts doppelt gezählt wird.

Grundlage: A₁ = 180·18 = 3240 mm², y₁ = 9 mm

zwei Schenkel: A₂ = 2·18·72 = 2592 mm², y₂ = 18 + 72/2 = 54 mm

Schwerpunkt

ȳ = (3240·9 + 2592·54)/5832 = 29 mm

Satz von Steiner

Grundlage: 180·18³/12 + 3240·(9 − 29)² = 1,383 × 10⁶ mm⁴

zwei Schenkel: 2·18·72³/12 + 2592·(54 − 29)² = 2,74 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,383 × 10⁶ + 2,74 × 10⁶

I_x = 4,123 × 10⁶ mm⁴ = 4,123 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 4,123 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 137,3 × 10⁶ mm⁴

In drei Rechtecke aufteilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Obergurt: A = 2200 mm², y = 300 mm

Steg: A = 3240 mm², y = 155 mm

Untergurt: A = 3600 mm², y = 10 mm

Schwerpunkt

ȳ = (2200·300 + 3240·155 + 3600·10)/9040 = 132,5 mm

Satz von Steiner

Obergurt: 110·20³/12 + 2200·167,5² = 6,176 × 10⁷ mm⁴

Steg: 12·270³/12 + 3240·22,46² = 2,132 × 10⁷ mm⁴

Untergurt: 180·20³/12 + 3600·122,5² = 5,418 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,176 × 10⁷ + 2,132 × 10⁷ + 5,418 × 10⁷

I_x = 1,373 × 10⁸ mm⁴ = 137,3 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 137,3 × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_s = −27,39 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Im Mohrschen Kreis liegt der höchste Punkt (+R) 90° vom Hauptspannungspunkt σ₁ entfernt; am Element sind das 45°.

cos 2θ_s = 60/104 = 0,5767, sin 2θ_s = −85/104 = −0,817

2θ_s = atan2(−85, 60) = −54,78°

Winkel am Element

θ_s = −27,39°

Probe: θ_s − θ_p = −27,39 − 17,61 = −45°

Antwort

θ_s = −27,39°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_θ = −7,99 MPa

Transformationsgleichung

τ_θ = −15·0,866 + 10·0,5 = −7,99 MPa

Antwort

τ_θ = −7,99 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ = 57,14 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung

δ = wL⁴/(8EI) = 15·4000⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 57,14 mm

Antwort

δ = 57,14 mm

12.Durchbiegung

Antwort: I_req = 639,2 × 10⁶ mm⁴

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·5000⁴/(384·11000·13,89) = 6,392 × 10⁸ mm⁴

I_req = 639,2 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_req = 639,2 × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 27,56 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/750² = 27561 N = 27,56 kN

Antwort

P_cr = 27,56 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 24,87 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/15 = 166,7

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/166,7² = 24,87 MPa

Antwort

σ_cr = 24,87 MPa

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