Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Messing unter der axialen Last.

P = 95 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 20 mm, E = 200 GPa, zulässige Spannung 200 MPa) steckt in einem Rohr aus Aluminium (Außendurchmesser 120 mm, Innendurchmesser 50 mm, E = 70 GPa, zulässige Spannung 100 MPa). Sie werden zwischen starren Platten zusammengedrückt. Bestimme die größte Last P_max.

Stab: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaRohr: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Aluminium mit 3 m Länge überträgt ein Drehmoment von 250 N·m. Der Verdrehwinkel zwischen ihren Enden darf 0,5° nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der diese Grenze einhält.

T = 250 N·mL = 3 mG = 26 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle soll 5 kW bei 1800 rpm übertragen. Ihr Innendurchmesser soll das 0,6-Fache ihres Außendurchmessers betragen, und die Schubspannung darf 75 MPa nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Außendurchmesser d_o.

P = 5 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 4 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 6 mw = 4 kN/m von 0 bis 6 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 4 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 5 mP = 50 kN bei 3,5 mw = 10 kN/m von 0 bis 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein Gusseisenträger hat den dargestellten T-Querschnitt mit dem Flansch oben. Die zulässigen Spannungen betragen 60 MPa auf Zug und 90 MPa auf Druck. Bestimme das größte negative Biegemoment M_allow, das der Träger aufnehmen kann (gib seinen Betrag an).

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 50 MPa, σᵧ = −60 MPa und τₓᵧ = 20 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_p von der x-Achse zur Richtung der größten Hauptspannung, zwischen −90° und 90°.

σ_x = 50 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Eine Vollwelle mit 50 mm Durchmesser überträgt ein Biegemoment von 300 N·m zusammen mit einem Drehmoment von 500 N·m. Bestimme an der Oberseite, wo die Biegespannung eine Zugspannung und am größten ist, die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

d = 50 mmM = 300 N·mT = 500 N·m

τ_max = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand a = 2 m vom Auflager A. Bestimme die Durchbiegung δ_P unter der Last.

P = 18 kNa = 2 mL = 5 mE = 200 GPa (Stahl)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand b = 1 m vom Auflager B. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max des Balkens.

P = 24 kNb = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (Holz)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (Stahl)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Sie muss 25 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 25 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 2,903 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 95·1000/490,9 = 193,5 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 193,5/100000 = 0,001935 = 1935 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,001935·1500 mm = 2,903 mm

Antwort

δ = 2,903 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P_max = 717,1 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·9346 = 7,171 × 10⁸ N

Maßgebende Dehnung

ε = min(0,001, 0,001429) = 0,001 (Stahl)

Größte Last

P_max = 0,001·7,171 × 10⁸ = 717069 N = 717,1 kN

Antwort

P_max = 717,1 kN

3.Torsion von Wellen

Antwort: d = 76,17 mm

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Erforderliches polares Flächenträgheitsmoment

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·3000/(26000·0,008727) = 3,306 × 10⁶ mm⁴

Durchmesser

d = (32J/π)^1/4 = 76,17 mm

Antwort

d = 76,17 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

4.Torsion von Wellen

Antwort: d_o = 12,74 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 5000/188,5 = 26,53 N·m

Außendurchmesser aus der zulässigen Spannung

T = 26,53 N·m = 26526 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·26526/(π·75·0,8704)) = 12,74 mm

d_i = 0,6·12,74 = 7,646 mm

Antwort

d_o = 12,74 mm

Eine Vollwelle bräuchte d = 12,17 mm; die Hohlwelle ist etwas größer, aber viel leichter.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 16 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, angreifend bei x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·6·3

R_B = 72/6 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Schnitt bei x = 4 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 12·4 − 4·4·2 = 16 kN·m

Antwort

M_x = 16 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 55 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, angreifend bei x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·3,5 + 10·5·2,5

R_B = 300/5 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 60 = 40 kN

Schnitt bei x = 4 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 40·4 − 50·(4 − 3,5) − 10·4·2 = 55 kN·m

Antwort

M_x = 55 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 19,5 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

Steg: A_w = 8·240 = 1920 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·245 + 1920·120)/2920 = 162,8 mm

Satz von Steiner

Flansch: 100·10³/12 + 1000·(245 − 162,8)² = 6,764 × 10⁶ mm⁴

Steg: 8·240³/12 + 1920·(120 − 162,8)² = 1,273 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,764 × 10⁶ + 1,273 × 10⁷ = 1,95 × 10⁷ mm⁴ = 19,5 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 19,5 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: M_allow = 13,89 kN·m

Schwerpunkt

ȳ = (3600·195 + 2520·90)/6120 = 151,8 mm

Oberkante: c = 210 − 151,8 = 58,24 mm

Flächenträgheitsmoment

I = 120·30³/12 + 3600·43,24² + 14·180³/12 + 2520·61,76² = 2,342 × 10⁷ mm⁴

Von jedem Rand zugelassenes Moment

Negatives Moment: oben Zug, unten Druck.

Oberkante: M = 60·2,342 × 10⁷/58,24 = 24,13 kN·m

Unterkante: M = 90·2,342 × 10⁷/151,8 = 13,89 kN·m

Maßgebender Wert

M_allow = min = 13,89 kN·m (Unterkante)

Antwort

M_allow = 13,89 kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_p = 9,992 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Punkt x liegt im Mohrschen Kreis unter dem Winkel 2θp zur σ-Achse; der Quadrant ergibt sich aus den Vorzeichen von σₓ − σᵧ und τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·20, 50 − −60) = 19,98°

Winkel am Element

θ_p = 9,992°

Antwort

θ_p = 9,992°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 23,76 MPa

Spannungen an der Oberfläche

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·50³) = 24,45 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·50³) = 20,37 MPa

Mohrscher Spannungskreis

C = σ/2 = 12,22 MPa

R = √(12,22² + 20,37²) = 23,76 MPa

Antwort

τ_max = 23,76 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_P = 2,571 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 18000 N, a = 2000 mm, b = 3000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 18000·2000²·3000²/(3·1,68 × 10¹³·5000) = 2,571 mm

Antwort

δ_P = 2,571 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 35,66 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 24000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Lage des Maximums

Setzt man die Neigung im längeren Abschnitt null, erhält man die Lage.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

Maximale Durchbiegung

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 35,66 mm

Antwort

δ_max = 35,66 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 992,2 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2000² = 992201 N = 992,2 kN

Antwort

P_cr = 992,2 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 133,6 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 3·25000 = 75000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·12000²/(π³·70000))^(1/4) = 133,6 mm

Antwort

d = 133,6 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 359,3, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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