Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Aluminium unter der axialen Last.

P = 30 kNd = 12 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 40 kNAbschnitt 1: Ø30 mm, 0,5 m, Aluminium (E = 70 GPa)Abschnitt 2: Ø12 mm, 1,5 m, Stahl (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Stahl ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 750 N·md = 40 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle überträgt 10 kW bei 1500 U/min. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

P = 10 kWN = 1500 rpmd_o = 40 mmd_i = 32 mm

τ_max = MPa

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

60 kN @ 4 m20 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

15 kN @ 0 m10 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein U-Profil liegt mit der offenen Seite nach oben: eine Bodenplatte von 280 mm Breite mit zwei senkrechten Schenkeln, insgesamt 150 mm hoch. Boden und Schenkel sind alle 18 mm dick. Bestimme die Höhe ȳ des Schwerpunkts über der Unterkante.

b = 280 mmh = 150 mmt = 18 mm

ȳ = mm

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 230 mm Breite und 16 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 340 mm und einen Steg mit 12 mm Dicke. Er überträgt ein Biegemoment von 150 kN·m um die Achse x. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_j am Übergang vom Steg zum Obergurt.

B = 230 mmH = 340 mmt_f = 16 mmt_w = 12 mmM = 150 kN·m

σ_j = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = 130 MPa, σᵧ = 40 MPa und τₓᵧ = −50 MPa (Zug positiv). Das Element wird um 40° gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Bestimme die Normalspannung σ_y′ auf den Flächen des gedrehten Elements, die senkrecht zur gedrehten y′-Achse stehen.

σ_x = 130 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = 160 MPa, σᵧ = −20 MPa und τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Bestimme die Vergleichsspannung nach von Mises σ_vM.

σ_x = 160 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −50 MPa

σ_vM = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (Holz)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Holzbalken als Einfeldträger mit Rechteckquerschnitt, 100 mm breit, trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung in Feldmitte darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme die kleinste Querschnittshöhe h_req.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (Holz)b = 100 mm

h_req = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 11,37 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 30·1000/113,1 = 265,3 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 265,3/70000 = 0,003789 = 3789 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,003789·3000 mm = 11,37 mm

Antwort

δ = 11,37 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 353,7 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 56,59 MPa

σ₂ = 353,7 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 353,7 MPa

Antwort

σ_max = 353,7 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 6,412 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(80000·251327) = 0,1119 rad

φ = 0,1119·180/π = 6,412°

Antwort

φ = 6,412°

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 8,581 MPa

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴

Maximale Schubspannung

τ_max = T·(d_o/2)/J = 63662·20/148384 = 8,581 MPa

Antwort

τ_max = 8,581 MPa

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: C (x = 4 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 56,67 kN, R₂ = 23,33 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 113,3, M_C = 186,7 kN·m, M_D = 140, M_E = 93,33, M_F = 46,67, M_G = 0

Antwort

Markierung C: M_C = 186,7 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: B (x = 1 m)

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 16,25 kN, R₂ = 8,75 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = −15 kN·m, M_C = −13,75, M_D = −12,5, M_E = −11,25, M_F = −10, M_G = 0

Antwort

Markierung B: M_B = −15 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: ȳ = 45,4 mm

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In Rechtecke aufteilen

Nimm den Boden über die ganze Breite und die beiden Schenkel darüber (Höhe h − t), damit nichts doppelt gezählt wird.

Grundlage: A₁ = 280·18 = 5040 mm², y₁ = 9 mm

zwei Schenkel: A₂ = 2·18·132 = 4752 mm², y₂ = 18 + 132/2 = 84 mm

Schwerpunkt

ȳ = (5040·9 + 4752·84)/9792 = 45,4 mm

Antwort

ȳ = 45,4 mm

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_j = 103,8 MPa

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − t_w) breit und h_w = H − 2t_f hoch und haben die Achse x gemeinsam.

h_w = 340 − 2·16 = 308 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (230·340³ − 218·308³)/12

I_x = 2,225 × 10⁸ mm⁴

Biegespannung

y = 170 − 16 = 154 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁸·154/2,225 × 10⁸ = 103,8 MPa

Antwort

σ_j = 103,8 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_y′ = 126,4 MPa

Transformationsgleichung für die y′-Fläche

σ_y′ = 85 − 45·0,1736 − (−50)·0,9848 = 126,4 MPa

Probe

Die Summe der Normalspannungen ändert sich bei einer Drehung nicht.

σ_x′ = 43,57 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 170 = σ_x + σ_y

Antwort

σ_y′ = 126,4 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_vM = 191,6 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Fließkriterien: Nach von Mises tritt Fließen ein, wenn σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) die Streckgrenze σ_Y erreicht; nach Tresca, wenn die absolut größte Schubspannung σ_Y/2 erreicht.

Hauptspannungen

C = 70 MPa, R = 103 MPa

σ₁ = 173 MPa, σ₂ = −32,96 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(173² − 173·(−32,96) + (−32,96)²) = 191,6 MPa

Antwort

σ_vM = 191,6 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 25,69 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 25,69 mm

Antwort

δ_max = 25,69 mm

12.Durchbiegung

Antwort: h_req = 233,8 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·5000⁴/(384·11000·13,89) = 1,065 × 10⁸ mm⁴

Erforderliche Höhe

bh³/12 = I_req → h = (12·1,065 × 10⁸/100)^1/3 = 233,8 mm

Antwort

h_req = 233,8 mm

In der Praxis wählt man die nächste Standardhöhe über diesem Wert.

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 27,04 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/700² = 27035 N = 27,04 kN

Antwort

P_cr = 27,04 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 6,218 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/15 = 333,3

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/333,3² = 6,218 MPa

Antwort

σ_cr = 6,218 MPa

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