Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Messing unter der axialen Last.

P = 20 kNd = 30 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 90 kNAbschnitt 1: Ø30 mm, 0,5 m, Aluminium (E = 70 GPa)Abschnitt 2: Ø20 mm, 1,5 m, Messing (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Messing ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 750 N·md = 30 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Stahl überträgt 20 kW bei 500 rpm. Die Schubspannung darf 40 MPa nicht überschreiten, und die Verdrehung darf 1° pro m Länge nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der beide Grenzen einhält.

P = 20 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 7 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 8 mw = 10 kN/m von 0 bis 8 mx = 7 m

M_x = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

35 kN @ 0 m40 kN @ 12 m55 kN @ 6 m12 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 240 mm Breite und 24 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 400 mm und einen Steg mit 14 mm Dicke. Bestimme sein elastisches Widerstandsmoment S_x für Biegung um die horizontale Schwerachse x.

B = 240 mmH = 400 mmt_f = 24 mmt_w = 14 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 30 kN·m. Bestimme die Biegespannung σ_unten an der Unterkante.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 160 mmM = 30 kN·m

σ_unten = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = −40 MPa, σᵧ = −40 MPa und τₓᵧ = 20 MPa, mit σ_z = 0. Bestimme die absolut größte Schubspannung τ_abs im Punkt (unter Berücksichtigung aller Ebenen im Raum).

σ_x = −40 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein dünnwandiger zylindrischer Behälter mit 800 mm Innendurchmesser und 6 mm Wanddicke enthält Gas mit einem Überdruck von 1,2 MPa. Er ist aus Blech gefertigt, das entlang einer schraubenförmigen Naht unter 25° zur Zylinderachse verschweißt ist. Bestimme den Betrag der Schubspannung |τ_n|, die entlang der Schweißnaht wirkt.

D = 800 mmt = 6 mmp = 1,2 MPaα = 25°

|τ_n| = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Durchbiegung δ am freien Ende.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein einseitig eingespannter Träger ist in A eingespannt und in B gelenkig gestützt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. EI ist konstant. Bestimme den Betrag des Biegemoments M_A an der Einspannung.

L = 5 mw = 10 kN/m

M_A = kN·m

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (Stahl)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 0,2829 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 20·1000/706,9 = 28,29 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 28,29/100000 = 0,0002829 = 282,9 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,0002829·1000 mm = 0,2829 mm

Antwort

δ = 0,2829 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 286,5 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 127,3 MPa

σ₂ = 286,5 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 286,5 MPa

Antwort

σ_max = 286,5 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 13,86 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(39000·79522) = 0,2418 rad

φ = 0,2418·180/π = 13,86°

Antwort

φ = 13,86°

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 40,86 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Durchmesser aus der Festigkeit

T = 382 N·m = 381972 N·mm

d_τ = ∛(16·381972/(π·40)) = 36,5 mm

Durchmesser aus der Steifigkeit

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·381972/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 40,86 mm

Maßgebender Durchmesser

Beide Grenzen müssen eingehalten werden, daher ist der größere Durchmesser maßgebend.

d = max(36,5, 40,86) = 40,86 mm

Antwort

d = 40,86 mm

Hier ist die Steifigkeit maßgebend.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 35 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·8·4

R_B = 320/8 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Schnitt bei x = 7 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 40·7 − 10·7·3,5 = 35 kN·m

Antwort

M_x = 35 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: D (x = 6 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 109,3 kN, R₂ = 116,8 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = −70, M_C = 54,5, M_D = 131 kN·m, M_E = 49,5, M_F = −80, M_G = 0

Antwort

Markierung D: M_D = 131 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: S_x = 2293 × 10³ mm³

Flächenträgheitsmoment: Für ein Rechteck gilt um seine eigene Schwerachse I = bh³/12 und um seine Grundlinie bh³/3 (Satz von Steiner I = I_c + A·d²). Ein Loch wird berücksichtigt, indem man sein I abzieht, solange beide Teile dieselbe Achse haben. Das elastische Widerstandsmoment ist S = I/c, wobei c der Abstand zur Randfaser ist.

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − t_w) breit und h_w = H − 2t_f hoch und haben die Achse x gemeinsam.

h_w = 400 − 2·24 = 352 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (240·400³ − 226·352³)/12

I_x = 4,586 × 10⁸ mm⁴

Widerstandsmoment

c = H/2 = 200 mm

S_x = I/c = 4,586 × 10⁸/200

S_x = 2,293 × 10⁶ mm³ = 2293 × 10³ mm³

Antwort

S_x = 2293 × 10³ mm³

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_unten = 230,9 MPa

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

Steg: A_w = 18·160 = 2880 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·165 + 2880·80)/5080 = 116,8 mm

Satz von Steiner

Flansch: 220·10³/12 + 2200·(165 − 116,8)² = 5,127 × 10⁶ mm⁴

Steg: 18·160³/12 + 2880·(80 − 116,8)² = 1,005 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,127 × 10⁶ + 1,005 × 10⁷ = 1,517 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

Die Unterkante liegt ȳ von der Achse entfernt.

y = 116,8 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·116,8/1,517 × 10⁷ = 230,9 MPa

Antwort

σ_unten = 230,9 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_abs = 30 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Im Raum ist die absolut größte Schubspannung (σ_max − σ_min)/2 über alle drei Hauptspannungen; im ebenen Spannungszustand ist die dritte null.

Hauptspannungen in der Ebene

C = −40 MPa, R = √(0² + 20²) = 20 MPa

σ₁ = −20 MPa, σ₂ = −60 MPa, σ_z = 0

Größter der drei Kreise

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(40, 20, 60)/2 = 30 MPa

Antwort

τ_abs = 30 MPa

Hier ist der Kreis außerhalb der Ebene maßgebend: Das absolute Maximum ist größer als das Maximum R in der Ebene.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: |τ_n| = 15,32 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Dünnwandiger Zylinder: Umfangsspannung σ_h = pr/t und Längsspannung σ_a = pr/(2t); das sind die Hauptspannungen in der Wand.

Spannungen in der Wand

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 1,2·400/6 = 80 MPa

σ_a = pr/(2t) = 40 MPa

Auf die Naht transformieren

Lege x entlang der Achse (σ_a) und y in Umfangsrichtung (σ_h). Die Normale der Naht bildet mit der Achse den Winkel 90° − α.

|τ_n| = (80 − 40)·sin 25°·cos 25° = 15,32 MPa

Antwort

|τ_n| = 15,32 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ = 45,71 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung

δ = wL⁴/(8EI) = 12·4000⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 45,71 mm

Antwort

δ = 45,71 mm

12.Durchbiegung

Antwort: M_A = 31,25 kN·m

Stütze entfernen

Ohne die Stütze ist der Balken ein Kragarm. Sein freies Ende würde sich unter der Last durchbiegen.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Verträglichkeit an der Stütze

Die Stützkraft R_B allein hebt das freie Ende um R_BL³/(3EI) an. Die Stütze hält B bei null Durchbiegung, also müssen sich beide aufheben. EI kürzt sich heraus.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·5/8 = 18,75 kN

Moment an der Einspannung

Momente der Lasten und der Stützkraft um A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 125 − 93,75 = 31,25 kN·m

Antwort

M_A = 31,25 kN·m

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 9,922 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Knicklänge

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/5000² = 9922 N = 9,922 kN

Antwort

P_cr = 9,922 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 11,05 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/5 = 250

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11,05 MPa

Antwort

σ_cr = 11,05 MPa

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