Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab besteht aus einem Segment aus Stahl (Durchmesser 30 mm, Länge 300 mm, E = 200 GPa), das stumpf mit einem Segment aus Bronze (Durchmesser 60 mm, Länge 500 mm, E = 110 GPa) verbunden ist. Er ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen gezogen. Bestimme die axiale Last P, die ihn insgesamt um 0,4 mm dehnt.

Segment 1: Stahl, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaSegment 2: Bronze, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 70 kNAbschnitt 1: Ø25 mm, 1 m, Messing (E = 100 GPa)Abschnitt 2: Ø12 mm, 2 m, Stahl (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Hohlwelle aus Stahl (Außendurchmesser 40 mm, Innendurchmesser 30 mm, Länge 0,5 m) ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen durch ein Drehmoment von 2000 N·m verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ in Grad.

T = 2000 N·md_o = 40 mmd_i = 30 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle überträgt 50 kW bei 1800 U/min. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

P = 50 kWN = 1800 rpmd_o = 40 mmd_i = 20 mm

τ_max = MPa

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

60 kN @ 6 m6 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 2 m bis zum freien Ende C aus. Über die ganze Länge A–C wirkt eine Gleichstreckenlast w. Bestimme das Biegemoment M_B am Auflager B. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 8 mw = 5 kN/m von 0 bis 8 mAuflager bei x = 0 und x = 6 m

M_B = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Eine Platte von 100 mm × 240 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 50 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 156 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 100 mmh = 240 mmd = 50 mmLochmittelpunkt: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 140 mm Breite und 10 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 480 mm und einen Steg mit 6 mm Dicke. Er überträgt ein Biegemoment von 150 kN·m um die Achse x. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_j am Übergang vom Steg zum Obergurt.

B = 140 mmH = 480 mmt_f = 10 mmt_w = 6 mmM = 150 kN·m

σ_j = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = 140 MPa, σᵧ = −20 MPa und τₓᵧ = 50 MPa, mit σ_z = 0. Bestimme die absolut größte Schubspannung τ_abs im Punkt (unter Berücksichtigung aller Ebenen im Raum).

σ_x = 140 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 40 MPa, σᵧ = −60 MPa und τₓᵧ = −40 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 25° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = 40 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 0,5 m von A. Bestimme die Durchbiegung δ_B am freien Ende B.

P = 24 kNa = 0,5 mL = 5 mE = 11 GPa (Holz)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein einseitig eingespannter Träger ist in A eingespannt und in B gelenkig gestützt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. EI ist konstant. Bestimme die Auflagerkraft R_B an der Stütze.

L = 3 mw = 6 kN/m

R_B = kN

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Sie muss 20 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 20 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P = 107,2 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Nachgiebigkeiten

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·2827) = 1,608 × 10⁻⁶ mm/N

Last

P = 0,4/3,73 × 10⁻⁶ = 107247 N = 107,2 kN

Antwort

P = 107,2 kN

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 618,9 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 142,6 MPa

σ₂ = 618,9 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 618,9 MPa

Antwort

σ_max = 618,9 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 4,169 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Verdrehwinkel

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·500/(80000·171806) = 0,07276 rad

φ = 0,07276·180/π = 4,169°

Antwort

φ = 4,169°

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 22,52 MPa

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Maximale Schubspannung

τ_max = T·(d_o/2)/J = 265258·20/235619 = 22,52 MPa

Antwort

τ_max = 22,52 MPa

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: D (x = 6 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 66 kN, R₂ = 66 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 120, M_C = 216, M_D = 288 kN·m, M_E = 216, M_F = 120, M_G = 0

Antwort

Markierung D: M_D = 288 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_B = −10 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht am ganzen Balken, einschließlich der Last auf dem Kragarm.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·8·4

R_B = 160/6 = 26,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 26,67 = 13,33 kN

Schnitt bei B, Kragarm behalten

Die Last auf dem Kragarm, w·a, greift a/2 von B entfernt an und erzeugt über dem Auflager ein negatives Moment.

M_B = −w·a²/2 = −5·2²/2 = −10 kN·m

Antwort

M_B = −10 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 112,1 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat I_c = bh³/12 und ein Kreis I_c = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (24000·120 − 1963·156)/(24000 − 1963) = 116,8 mm

Volle Platte um ȳ

100·240³/12 + 24000·3,208² = 115,4 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

π·50⁴/64 + 1963·39,21² = 3,325 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 112,1 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 112,1 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_j = 169,7 MPa

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − t_w) breit und h_w = H − 2t_f hoch und haben die Achse x gemeinsam.

h_w = 480 − 2·10 = 460 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·480³ − 134·460³)/12

I_x = 2,033 × 10⁸ mm⁴

Biegespannung

y = 240 − 10 = 230 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁸·230/2,033 × 10⁸ = 169,7 MPa

Antwort

σ_j = 169,7 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_abs = 94,34 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Im Raum ist die absolut größte Schubspannung (σ_max − σ_min)/2 über alle drei Hauptspannungen; im ebenen Spannungszustand ist die dritte null.

Hauptspannungen in der Ebene

C = 60 MPa, R = √(80² + 50²) = 94,34 MPa

σ₁ = 154,3 MPa, σ₂ = −34,34 MPa, σ_z = 0

Größter der drei Kreise

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(188,7, 154,3, 34,34)/2 = 94,34 MPa

Antwort

τ_abs = 94,34 MPa

Hier haben σ₁ und σ₂ entgegengesetzte Vorzeichen, das Maximum R in der Ebene ist also auch das absolute Maximum.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = −8,502 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = −10 + 50·0,6428 + −40·0,766 = −8,502 MPa

Antwort

σ_θ = −8,502 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_B = 23,13 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 24000 N, a = 500 mm, L = 5000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Durchbiegung am freien Ende

Durchbiegung an der Last plus Neigung an der Last mal Restlänge.

δ_P = Pa³/(3EI) = 1,595 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,004785 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 23,13 mm

Antwort

δ_B = 23,13 mm

12.Durchbiegung

Antwort: R_B = 6,75 kN

Stütze entfernen

Ohne die Stütze ist der Balken ein Kragarm. Sein freies Ende würde sich unter der Last durchbiegen.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Verträglichkeit an der Stütze

Die Stützkraft R_B allein hebt das freie Ende um R_BL³/(3EI) an. Die Stütze hält B bei null Durchbiegung, also müssen sich beide aufheben. EI kürzt sich heraus.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·6·3/8 = 6,75 kN

Antwort

R_B = 6,75 kN

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 8,188 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/1500² = 8188 N = 8,188 kN

Antwort

P_cr = 8,188 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 63,17 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 3·20000 = 60000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 63,17 mm

Antwort

d = 63,17 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 190, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials