Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Messing unter der axialen Last.

P = 120 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 60 kNAbschnitt 1: Ø35 mm, 2 m, Messing (E = 100 GPa)Abschnitt 2: Ø20 mm, 1,5 m, Stahl (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Stahl ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 250 N·md = 20 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle überträgt 50 kW bei 1450 U/min. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

P = 50 kWN = 1450 rpmd_o = 80 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme die Querkraft V_x im Schnitt x = 0,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 4 mw = 4 kN/m von 0 bis 4 mx = 0,5 m

V_x = kN

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

15 kN @ 0 m60 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein U-Profil liegt mit der offenen Seite nach oben: eine Bodenplatte von 240 mm Breite mit zwei senkrechten Schenkeln, insgesamt 130 mm hoch. Boden und Schenkel sind alle 12 mm dick. Bestimme sein Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b = 240 mmh = 130 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 180 mm Breite und 22 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 380 mm und einen Steg mit 12 mm Dicke. Er überträgt ein Biegemoment von 60 kN·m um die Achse x. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_j am Übergang vom Steg zum Obergurt.

B = 180 mmH = 380 mmt_f = 22 mmt_w = 12 mmM = 60 kN·m

σ_j = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = 10 MPa, σᵧ = 60 MPa und τₓᵧ = −20 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_s zwischen −90° und 90° von der x-Achse zur Normalen der Ebene, in der die Schubspannung ihren größten positiven Wert +R hat (Schub positiv im gleichen Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = 10 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 150 MPa, σᵧ = 90 MPa und τₓᵧ = 30 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 50° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = 150 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 2 m von A. Bestimme die Durchbiegung δ_B am freien Ende B.

P = 16 kNa = 2 mL = 2,5 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment I_req, das diese Grenze einhält.

w = 8 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (Aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (Stahl)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 4,244 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 120·1000/706,9 = 169,8 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 169,8/100000 = 0,001698 = 1698 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,001698·2500 mm = 4,244 mm

Antwort

δ = 4,244 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 191 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 62,36 MPa

σ₂ = 191 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 191 MPa

Antwort

σ_max = 191 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 22,8 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2000/(80000·15708) = 0,3979 rad

φ = 0,3979·180/π = 22,8°

Antwort

φ = 22,8°

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 4,31 MPa

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3,056 × 10⁶ mm⁴

Maximale Schubspannung

τ_max = T·(d_o/2)/J = 329286·40/3,056 × 10⁶ = 4,31 MPa

Antwort

τ_max = 4,31 MPa

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: V_x = 6 kN

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, angreifend bei x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·4·2

R_B = 32/4 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Schnitt bei x = 0,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

V = R_A − (alle Lasten nach unten links vom Schnitt)

V_x = 8 − 4·0,5 = 6 kN

Antwort

V_x = 6 kN

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: F (x = 5 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 3,75 kN, R₂ = 71,25 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = −15, M_C = −26,25, M_D = −37,5, M_E = −48,75, M_F = −60 kN·m, M_G = 0

Antwort

Markierung F: M_F = −60 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 9,353 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In Rechtecke aufteilen

Nimm den Boden über die ganze Breite und die beiden Schenkel darüber (Höhe h − t), damit nichts doppelt gezählt wird.

Grundlage: A₁ = 240·12 = 2880 mm², y₁ = 6 mm

zwei Schenkel: A₂ = 2·12·118 = 2832 mm², y₂ = 12 + 118/2 = 71 mm

Schwerpunkt

ȳ = (2880·6 + 2832·71)/5712 = 38,23 mm

Satz von Steiner

Grundlage: 240·12³/12 + 2880·(6 − 38,23)² = 3,026 × 10⁶ mm⁴

zwei Schenkel: 2·12·118³/12 + 2832·(71 − 38,23)² = 6,328 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,026 × 10⁶ + 6,328 × 10⁶

I_x = 9,353 × 10⁶ mm⁴ = 9,353 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 9,353 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_j = 34,52 MPa

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − t_w) breit und h_w = H − 2t_f hoch und haben die Achse x gemeinsam.

h_w = 380 − 2·22 = 336 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·380³ − 168·336³)/12

I_x = 2,92 × 10⁸ mm⁴

Biegespannung

y = 190 − 22 = 168 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·168/2,92 × 10⁸ = 34,52 MPa

Antwort

σ_j = 34,52 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_s = 64,33 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Im Mohrschen Kreis liegt der höchste Punkt (+R) 90° vom Hauptspannungspunkt σ₁ entfernt; am Element sind das 45°.

cos 2θ_s = −20/32,02 = −0,6247, sin 2θ_s = −(−25)/32,02 = 0,7809

2θ_s = atan2(25, −20) = 128,7°

Winkel am Element

θ_s = 64,33°

Probe: θ_s − θ_p = 64,33 − (−70,67) = 135°

Antwort

θ_s = 64,33°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = 144,3 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = 120 + 30·−0,1736 + 30·0,9848 = 144,3 MPa

Antwort

σ_θ = 144,3 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_B = 23,28 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 16000 N, a = 2000 mm, L = 2500 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung am freien Ende

Durchbiegung an der Last plus Neigung an der Last mal Restlänge.

δ_P = Pa³/(3EI) = 16,93 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0127 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 23,28 mm

Antwort

δ_B = 23,28 mm

12.Durchbiegung

Antwort: I_req = 274,3 × 10⁶ mm⁴

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·8000⁴/(384·70000·22,22) = 2,743 × 10⁸ mm⁴

I_req = 274,3 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_req = 274,3 × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 93,25 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/1050² = 93250 N = 93,25 kN

Antwort

P_cr = 93,25 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 1,974 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/10 = 1000

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/1000² = 1,974 MPa

Antwort

σ_cr = 1,974 MPa

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