Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Kupfer, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 60 kNAbschnitt 1: Ø40 mm, 1 m, Kupfer (E = 117 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 0,5 m, Messing (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsion von WellenMittel

Eine abgesetzte Vollwelle aus Aluminium ist in A eingespannt. Abschnitt AB hat 60 mm Durchmesser und 0,8 m Länge; Abschnitt BC hat 50 mm Durchmesser und 1,2 m Länge. Am freien Ende C wirkt ein Drehmoment von 250 N·m. Bestimme den Verdrehwinkel φ_C des Endes C in Grad.

T = 250 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 50 mm, L₂ = 1,2 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle soll 50 kW bei 500 U/min übertragen, ohne dass die Schubspannung 60 MPa überschreitet. Bestimme den kleinsten geeigneten Durchmesser d.

P = 50 kWN = 500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Der Kragarm ist in A eingespannt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P im Abstand 3 m von A. Bestimme das Biegemoment M_A an der Einspannung A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 3 mP = 15 kN bei 3 mw = 12 kN/m von 0 bis 3 m

M_A = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 1,5 m bis zum freien Ende C aus. Über die ganze Länge A–C wirkt eine Gleichstreckenlast w. Bestimme das maximale positive Biegemoment M_max zwischen den Auflagern.

L = 7,5 mw = 5 kN/m von 0 bis 7,5 mAuflager bei x = 0 und x = 6 m

M_max = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Eine Platte von 100 mm × 200 mm hat einen rechteckigen Ausschnitt von 40 mm Breite und 20 mm Höhe, der auf der vertikalen Mittellinie sitzt und dessen Mittelpunkt 130 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 100 mmh = 200 mmAusschnitt: 40 × 20 mmLochmittelpunkt: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = 60 MPa und σᵧ = 0 MPa. Wie groß darf die Schubspannung τ_xy (Betrag) werden, bevor die größte Hauptspannung 80 MPa erreicht?

σ_x = 60 MPaσ_y = 0 MPaσ₁ = 80 MPa

τ_xy = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 20 MPa, σᵧ = 20 MPa und τₓᵧ = 60 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 30° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = 20 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand a = 1 m vom Auflager A. Bestimme die Durchbiegung δ_P unter der Last.

P = 30 kNa = 1 mL = 6 mE = 200 GPa (Stahl)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

P = 6 kNw = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (Holz)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (Stahl)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (Stahl)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 12515 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 115·1000/78,54 = 1464 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Kupfer = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1464/117000 = 0,01251 = 12515 µε

Antwort

ε = 12515 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 1,9 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 47,75 MPa

σ₂ = 298,4 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 47,75·1000/117000 = 0,4081 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 298,4·500/100000 = 1,492 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,9 mm

Antwort

δ = 1,9 mm

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ_C = 1,424 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polare Flächenträgheitsmomente

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Verdrehung jedes Abschnitts

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 250000·800/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,006046 rad

φ_BC = 250000·1200/(26000·613592) = 0,0188 rad

Gesamtverdrehung

φ_C = 0,006046 + 0,0188 = 0,02485 rad = 1,424°

Antwort

φ_C = 1,424°

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 43,28 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 50000/52,36 = 954,9 N·m

Durchmesser aus der zulässigen Spannung

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·60)) = 43,28 mm

Antwort

d = 43,28 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_A = −99 kN·m

Den Teil mit dem freien Ende behalten

P: −15·3 = −45 kN·m

w: −12·3²/2 = −54 kN·m

M_A = −45 − 54 = −99 kN·m

Antwort

M_A = −99 kN·m

Negativ bedeutet Zug an der Oberseite.

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_max = 19,78 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht am ganzen Balken, einschließlich der Last auf dem Kragarm.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 5·7,5 = 37,5 kN, angreifend bei x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·7,5·3,75

R_B = 140,6/6 = 23,44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 37,5 − 23,44 = 14,06 kN

Querkraftnullstelle

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 14,06/5 = 2,813 m

Maximales positives Moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 14,06²/(2·5) = 19,78 kN·m

Antwort

M_max = 19,78 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 22,6 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

Steg: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·210 + 2400·100)/4800 = 155 mm

Satz von Steiner

Flansch: 120·20³/12 + 2400·(210 − 155)² = 7,34 × 10⁶ mm⁴

Steg: 12·200³/12 + 2400·(100 − 155)² = 1,526 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,34 × 10⁶ + 1,526 × 10⁷ = 2,26 × 10⁷ mm⁴ = 22,6 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 22,6 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 65,89 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat I_c = bh³/12 und ein Kreis I_c = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (20000·100 − 800·130)/(20000 − 800) = 98,75 mm

Volle Platte um ȳ

100·200³/12 + 20000·1,25² = 66,7 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

40·20³/12 + 800·31,25² = 0,8079 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 65,89 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 65,89 × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_xy = 40 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Erforderlicher Radius

C = (60 + 0)/2 = 30 MPa

R = σ₁ − C = 80 − 30 = 50 MPa

Schubspannung

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 30²) = 40 MPa

Antwort

τ_xy = 40 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = 71,96 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = 20 + 0·0,5 + 60·0,866 = 71,96 MPa

Antwort

σ_θ = 71,96 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_P = 17,36 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 30000 N, a = 1000 mm, b = 5000 mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 30000·1000²·5000²/(3·2,4 × 10¹²·6000) = 17,36 mm

Antwort

δ_P = 17,36 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 1,752 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 6000 N, w = 10 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(48EI) = 6000·2000³/(48·1,76 × 10¹²) = 0,5682 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 1,184 mm

Addieren

δ_max = 0,5682 + 1,184 = 1,752 mm

Antwort

δ_max = 1,752 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 50,23 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1250² = 50230 N = 50,23 kN

Antwort

P_cr = 50,23 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 12,34 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/10 = 400

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Antwort

σ_cr = 12,34 MPa

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