Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Aluminium, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 90 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 70 kNAbschnitt 1: Ø25 mm, 1 m, Aluminium (E = 70 GPa)Abschnitt 2: Ø20 mm, 1,5 m, Messing (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine abgesetzte Vollwelle aus Aluminium ist in A eingespannt. Abschnitt AB hat 30 mm Durchmesser und 0,8 m Länge; Abschnitt BC hat 25 mm Durchmesser und 3 m Länge. Am freien Ende C wirkt ein Drehmoment von 750 N·m. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

T = 750 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 25 mm, L₂ = 3 m

τ_max = MPa

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Stahl überträgt 5 kW bei 1450 rpm. Die Schubspannung darf 80 MPa nicht überschreiten, und die Verdrehung darf 0,5° pro m Länge nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der beide Grenzen einhält.

P = 5 kWN = 1450 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

45 kN @ 3 m12 kN/m, 2–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 4 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 8 mP = 10 kN bei 4 mw = 8 kN/m von 0 bis 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Eine Platte von 100 mm × 150 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 60 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 105 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 100 mmh = 150 mmd = 60 mmLochmittelpunkt: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Eine Platte von 100 mm × 150 mm hat einen rechteckigen Ausschnitt von 50 mm Breite und 50 mm Höhe, der auf der vertikalen Mittellinie sitzt und dessen Mittelpunkt 105 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 100 mmh = 150 mmAusschnitt: 50 × 50 mmLochmittelpunkt: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −30 MPa, σᵧ = 30 MPa und τₓᵧ = 50 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

σ_x = −30 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein dünnwandiger zylindrischer Behälter mit 500 mm Innendurchmesser und 10 mm Wanddicke enthält Gas mit einem Überdruck von 0,8 MPa. Er ist aus Blech gefertigt, das entlang einer schraubenförmigen Naht unter 50° zur Zylinderachse verschweißt ist. Bestimme die Normalspannung σ_n, die quer zur Schweißnaht wirkt.

D = 500 mmt = 10 mmp = 0,8 MPaα = 50°

σ_n = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (Stahl)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt zwei gleiche Einzellasten P in den Drittelspunkten (L/3 von jedem Auflager). Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

P = 11 kNL = 4 mE = 200 GPa (Stahl)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Sie muss 65 kN mit einer Sicherheit von 2,5 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 65 kNn = 2,5L = 2 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 11368 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 90·1000/113,1 = 795,8 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 795,8/70000 = 0,01137 = 11368 µε

Antwort

ε = 11368 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 222,8 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 142,6 MPa

σ₂ = 222,8 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 222,8 MPa

Antwort

σ_max = 222,8 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 244,5 MPa

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Spannung in jedem Abschnitt

T = 750 N·m = 750000 N·mm

τ_AB = 16·750000/(π·30³) = 141,5 MPa

τ_BC = 16·750000/(π·25³) = 244,5 MPa

Antwort

τ_max = 244,5 MPa

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 26,33 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 5000/151,8 = 32,93 N·m

Durchmesser aus der Festigkeit

T = 32,93 N·m = 32929 N·mm

d_τ = ∛(16·32929/(π·80)) = 12,8 mm

Durchmesser aus der Steifigkeit

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·32929/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 26,33 mm

Maßgebender Durchmesser

Beide Grenzen müssen eingehalten werden, daher ist der größere Durchmesser maßgebend.

d = max(12,8, 26,33) = 26,33 mm

Antwort

d = 26,33 mm

Hier ist die Steifigkeit maßgebend.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: D (x = 3 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 34,5 kN, R₂ = 34,5 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 34,5, M_C = 69, M_D = 97,5 kN·m, M_E = 69, M_F = 34,5, M_G = 0

Antwort

Markierung D: M_D = 97,5 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 84 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·4 + 8·8·4

R_B = 296/8 = 37 kN

ΣF_y = 0: R_A = 74 − 37 = 37 kN

Schnitt bei x = 4 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 37·4 − 8·4·2 = 84 kN·m

Antwort

M_x = 84 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 24,35 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat I_c = bh³/12 und ein Kreis I_c = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (15000·75 − 2827·105)/(15000 − 2827) = 68,03 mm

Volle Platte um ȳ

100·150³/12 + 15000·6,968² = 28,85 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

π·60⁴/64 + 2827·36,97² = 4,5 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 24,35 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 24,35 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 24,9 × 10⁶ mm⁴

Schwerpunkt

ȳ = (15000·75 − 2500·105)/(15000 − 2500) = 69 mm

Volle Platte um ȳ

100·150³/12 + 15000·6² = 28,66 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

50·50³/12 + 2500·36² = 3,761 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 24,9 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 24,9 × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 58,31 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Radius des Mohrschen Kreises

τ_max = R = √(((−30 − 30)/2)² + 50²) = 58,31 MPa

Antwort

τ_max = 58,31 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_n = 14,13 MPa

Spannungen in der Wand

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 0,8·250/10 = 20 MPa

σ_a = pr/(2t) = 10 MPa

Auf die Naht transformieren

Lege x entlang der Achse (σ_a) und y in Umfangsrichtung (σ_h). Die Normale der Naht bildet mit der Achse den Winkel 90° − α.

σ_n = 10·sin²50° + 20·cos²50° = 14,13 MPa

Antwort

σ_n = 14,13 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 1,25 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 4000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 1,25 mm

Antwort

δ_max = 1,25 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 14,7 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 11000 N, L = 4000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Eine Last bei L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm

δ₁ = 7,349 mm

Beide Lasten addieren

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 14,7 mm

Antwort

δ_max = 14,7 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 4,606 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Knicklänge

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/2000² = 4606 N = 4,606 kN

Antwort

P_cr = 4,606 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 66,17 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2,5·65000 = 162500 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 66,17 mm

Antwort

d = 66,17 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 120,9, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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