Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Stahl, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 12 mmL = 1 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 120 kNAbschnitt 1: Ø40 mm, 2 m, Messing (E = 100 GPa)Abschnitt 2: Ø20 mm, 0,5 m, Aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

In einem Torsionsversuch wird eine Vollprobe mit 15 mm Durchmesser durch ein Drehmoment von 75 N·m verdreht. Die beiden Enden einer Messlänge von 300 mm verdrehen sich um 6,65° gegeneinander (der Werkstoff ist noch elastisch). Bestimme den Schubmodul G des Werkstoffs.

T = 75 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 6,65°

G = GPa

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Stahl überträgt 20 kW bei 500 rpm. Die Schubspannung darf 60 MPa nicht überschreiten, und die Verdrehung darf 0,75° pro m Länge nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der beide Grenzen einhält.

P = 20 kWN = 500 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 1 m bis zum freien Ende C aus. Er trägt eine Einzellast P₁ zwischen den Auflagern und eine Einzellast P₂ in C. Bestimme das Biegemoment M_B am Auflager B. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 9 mP₁ = 10 kN bei 2 mP₂ = 35 kN bei 9 mAuflager bei x = 0 und x = 8 m

M_B = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Einfeldträger trägt auf einem Teil seiner Spannweite eine Gleichstreckenlast. Bestimme das maximale Biegemoment M_max im Balken.

L = 4 mw = 24 kN/m von 0 bis 2 m

M_max = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Eine Platte von 200 mm × 300 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 50 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 195 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 200 mmh = 300 mmd = 50 mmLochmittelpunkt: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Eine Platte von 120 mm × 200 mm hat einen rechteckigen Ausschnitt von 60 mm Breite und 20 mm Höhe, der auf der vertikalen Mittellinie sitzt und dessen Mittelpunkt 60 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 120 mmh = 200 mmAusschnitt: 60 × 20 mmLochmittelpunkt: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 10 MPa, σᵧ = −80 MPa und τₓᵧ = 50 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

σ_x = 10 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Eine Vollwelle mit 50 mm Durchmesser überträgt ein Biegemoment von 1500 N·m zusammen mit einem Drehmoment von 250 N·m. Bestimme an der Oberseite, wo die Biegespannung eine Zugspannung und am größten ist, die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

d = 50 mmM = 1500 N·mT = 250 N·m

τ_max = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 20 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (Holz)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein einseitig eingespannter Träger ist in A eingespannt und in B gelenkig gestützt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. EI ist konstant. Bestimme die Auflagerkraft R_B an der Stütze.

L = 8 mw = 10 kN/m

R_B = kN

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Sie muss 30 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 30 kNn = 3L = 2,5 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 1105 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 25·1000/113,1 = 221 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Stahl = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 221/200000 = 0,001105 = 1105 µε

Antwort

ε = 1105 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 382 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 95,49 MPa

σ₂ = 382 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 382 MPa

Antwort

σ_max = 382 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: G = 39 GPa

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment und Winkel

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 6,65·π/180 = 0,1161 rad

Schubmodul

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·300/(4970·0,1161) = 39005 MPa

G = 39 GPa

Antwort

G = 39 GPa

Zum Vergleich: Stahl ≈ 80 GPa, Messing ≈ 39 GPa, Aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 43,9 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Durchmesser aus der Festigkeit

T = 382 N·m = 381972 N·mm

d_τ = ∛(16·381972/(π·60)) = 31,89 mm

Durchmesser aus der Steifigkeit

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·381972/(π·80000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 43,9 mm

Maßgebender Durchmesser

Beide Grenzen müssen eingehalten werden, daher ist der größere Durchmesser maßgebend.

d = max(31,89, 43,9) = 43,9 mm

Antwort

d = 43,9 mm

Hier ist die Steifigkeit maßgebend.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_B = −35 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht am ganzen Balken. Auch die Last am Kragende wirkt um A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·2 + 35·9

R_B = 335/8 = 41,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 41,88 = 3,125 kN

Schnitt bei B, Kragarm behalten

Auf den Kragarm wirkt nur P₂ mit dem Hebelarm a. Sie biegt den Balken über dem Auflager nach oben (negatives Moment).

M_B = −P₂·a = −35·1 = −35 kN·m

Antwort

M_B = −35 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_max = 27 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 24·2 = 48 kN, angreifend bei x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 24·2·1

R_B = 48/4 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 12 = 36 kN

Querkraftnullstelle

Die Querkraft beginnt bei R_A, bleibt über unbelastete Abschnitte konstant und fällt innerhalb der Last mit der Steigung w.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 36/24 = 1,5 m

Maximales Moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 36·1,5 − 24·1,5²/2 = 27 kN·m

Antwort

M_max = 27 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 445,6 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat I_c = bh³/12 und ein Kreis I_c = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (60000·150 − 1963·195)/(60000 − 1963) = 148,5 mm

Volle Platte um ȳ

200·300³/12 + 60000·1,522² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

π·50⁴/64 + 1963·46,52² = 4,556 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 445,6 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 445,6 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 77,94 × 10⁶ mm⁴

Schwerpunkt

ȳ = (24000·100 − 1200·60)/(24000 − 1200) = 102,1 mm

Volle Platte um ȳ

120·200³/12 + 24000·−2,105² = 80,11 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

60·20³/12 + 1200·−42,11² = 2,167 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 77,94 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 77,94 × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 67,27 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Radius des Mohrschen Kreises

τ_max = R = √(((10 − −80)/2)² + 50²) = 67,27 MPa

Antwort

τ_max = 67,27 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 61,96 MPa

Spannungen an der Oberfläche

σ = 32M/(πd³) = 32·1500000/(π·50³) = 122,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·50³) = 10,19 MPa

Mohrscher Spannungskreis

C = σ/2 = 61,12 MPa

R = √(61,12² + 10,19²) = 61,96 MPa

Antwort

τ_max = 61,96 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 14,1 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 1500 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·1500⁴/(384·9,35 × 10¹⁰) = 14,1 mm

Antwort

δ_max = 14,1 mm

12.Durchbiegung

Antwort: R_B = 30 kN

Stütze entfernen

Ohne die Stütze ist der Balken ein Kragarm. Sein freies Ende würde sich unter der Last durchbiegen.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Verträglichkeit an der Stütze

Die Stützkraft R_B allein hebt das freie Ende um R_BL³/(3EI) an. Die Stütze hält B bei null Durchbiegung, also müssen sich beide aufheben. EI kürzt sich heraus.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·8/8 = 30 kN

Antwort

R_B = 30 kN

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 3,473 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Knicklänge

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/5000² = 3473 N = 3,473 kN

Antwort

P_cr = 3,473 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 53,39 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 3·30000 = 90000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 53,39 mm

Antwort

d = 53,39 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 131,1, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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