Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
460 g CO₂P = 350 kPaT = 20 °CV = ?

Welches Volumen V nehmen 460 g CO₂ bei 350 kPa und 20 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 460 gM = 44,01 g/molP = 350 kPaT = 20 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Ideales GasgesetzSchwer
Zustand 1Zustand 2

Eine feste Menge Ar geht von 400 kPa, 10 L, 10 °C über zu 250 kPa und 70 °C. Bestimme das neue Volumen V2.

P1 = 400 kPaV1 = 10 LT1 = 10 °CP2 = 250 kPaT2 = 70 °C
V2 = L
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteLeichtöl · 160 °C60 °CWasser · 20 °Ct = ? °C

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 3 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 160 → 60 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 20 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteLeichtöl · 160 °C100 °CWasser · 30 °C75 °C · ṁ = ?15 % Verlust

Heißes Leichtöl erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 15 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 3 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 160 → 100 °Ct: 30 → 75 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 15 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 300 °CTL​ = 35 °CEQH​QL​W

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 300 °C und einem kalten Reservoir mit 35 °C. Bestimme den höchstmöglichen thermischen Wirkungsgrad ηmax.

TH = 300 °CTL = 35 °C
ηmax = %
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
TH​ = 21 °CTL​ = -10 °CHPQ̇H​ = 11 kWQ̇L​Ẇ

Eine Wärmepumpe hält ein Haus auf 21 °C, während es draußen -10 °C sind, und liefert 11 kW Wärme an das Haus. Bestimme die höchstmögliche Leistungszahl COPmax.

TH = 21 °CTL = -10 °CQ̇H = 11 kW
COPmax =
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 19 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 3. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r = 19rc = 3k = 1,4
η = %
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Ein idealer Joule-Prozess (Brayton) arbeitet mit einem Verdichterdruckverhältnis von 14. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

rp = 14k = 1,4
η = %

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 72,78 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 460/44,01 = 10,45 mol
T = 20 + 273,15 = 293,1 K

Volumen

V = nRT/P = 10,45·8,314·293,1/350 = 72,78 L

Antwort

V = 72,78 L
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V2 = 19,39 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P1V1/T1 = P2V2/T2.

Absolute Temperaturen

T1 = 283,1 K, T2 = 343,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 10·(400/250)·(343,1/283,1) = 19,39 L

Antwort

V2 = 19,39 L
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 95,36 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 3·2,1·(160 − 60) = 630 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 20 + 630/(2·4,18) = 95,36 °C

Antwort

tout = 95,36 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 1,708 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 3·2,1·(160 − 100) = 378 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,15)·378 = 321,3 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 321,3/(4,18·45) = 1,708 kg/s

Antwort

ṁc = 1,708 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: ηmax = 46,24 %

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 300 + 273,15 = 573,1 K
TL = 35 + 273,15 = 308,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 308,1/573,1 = 46,24 %

Antwort

ηmax = 46,24 %
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: COPmax = 9,489

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 21 + 273,15 = 294,1 K
TL = -10 + 273,15 = 263,1 K

Bestmögliche Leistungszahl

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 294,1/(294,1 − 263,1) = 9,489

Antwort

COPmax = 9,489
7.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 59,79 %

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Einspritzterm

(31,4 − 1)/(1,4·(3 − 1)) = 1,306

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 0,308·1,306 = 59,79%

Antwort

η = 59,79%
8.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 52,95 %

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 1/140,2857 = 1 − 1/2,126 = 52,95%

Antwort

η = 52,95%

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