Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
420 g ArP = 750 kPaT = 45 °CV = ?

Welches Volumen V nehmen 420 g Ar bei 750 kPa und 45 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 420 gM = 39,95 g/molP = 750 kPaT = 45 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Ideales GasgesetzSchwer
Ar, M = 39,95 g/molP = 400 kPaT = 40 °Cρ = ?

Bestimme die Dichte ρ von Ar bei 400 kPa und 40 °C als ideales Gas.

M = 39,95 g/molP = 400 kPaT = 40 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteGlykolgemisch · 180 °C130 °CWasser · 10 °Ct = ? °C

Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 180 → 130 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteEthanol · 120 °C90 °CWasser · 10 °C75 °C · ṁ = ?15 % Verlust

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 15 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 120 → 90 °Ct: 10 → 75 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 15 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 425 °CTL​ = ?EQH​ = 4500 kJQL​ = 1986 kJW

Eine reversible (Carnot-)Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 4500 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 425 °C auf und gibt 1986 kJ ab. Bestimme die Temperatur TL des kalten Reservoirs in °C.

TH = 425 °CQH = 4500 kJQL = 1986 kJ
TL = °C
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
TH​ = 30 °CTL​ = -25 °CRQ̇H​Q̇L​ = 0,5 kWẆ = ?

Ein Kühlschrank hält seinen Kühlraum auf -25 °C in einer Küche mit 30 °C und entzieht dem Kühlraum Wärme mit 0,5 kW. Bestimme die minimale Antriebsleistung Ẇmin.

TH = 30 °CTL = -25 °CQ̇L = 0,5 kW
Ẇmin = kW
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 19 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 3. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r = 19rc = 3k = 1,4
η = %
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 18. Die Luft tritt mit 290 K in den Verdichter und mit 1500 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

rp = 18T1 = 290 KT3 = 1500 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 37,08 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 420/39,95 = 10,51 mol
T = 45 + 273,15 = 318,1 K

Volumen

V = nRT/P = 10,51·8,314·318,1/750 = 37,08 L

Antwort

V = 37,08 L
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 6,138 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 40 + 273,15 = 313,1 K

Dichte

ρ = 400·39,95/(8,314·313,1) = 6,138 kg/m³

Antwort

ρ = 6,138 kg/m³
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 53,06 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 0,5·3,6·(180 − 130) = 90 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 90/(0,5·4,18) = 53,06 °C

Antwort

tout = 53,06 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 0,1145 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 0,5·2,44·(120 − 90) = 36,6 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,15)·36,6 = 31,11 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 31,11/(4,18·65) = 0,1145 kg/s

Antwort

ṁc = 0,1145 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: TL = 34,97 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperatur der Quelle

TH = 425 + 273,15 = 698,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

TL = TH·QL/QH = 698,1·1986/4500 = 308,1 K = 34,97 °C

Antwort

TL = 34,97 °C
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇmin = 0,1108 kW

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 30 + 273,15 = 303,1 K
TL = -25 + 273,15 = 248,1 K

Bestmögliche Leistungszahl

COPR,max = TL/(TH − TL) = 248,1/(303,1 − 248,1) = 4,512

Minimale Leistung

Die wenigste Arbeit braucht eine reversible Maschine, die die höchste Leistungszahl hat.

Ẇmin = Q̇L/COP = 0,5/4,512 = 0,1108 kW

Antwort

Ẇmin = 0,1108 kW
7.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 59,79 %

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Einspritzterm

(31,4 − 1)/(1,4·(3 − 1)) = 1,306

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 0,308·1,306 = 59,79%

Antwort

η = 59,79%
8.Gaskreisprozesse

Antwort: wnet = 473,3 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Isentrope Temperaturen

T2 = 290·180,2857 = 662,3 K
T4 = 1500/180,2857 = 656,8 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

wc = 1,005·(662,3 − 290) = 374,2 kJ/kg
wt = 1,005·(1500 − 656,8) = 847,4 kJ/kg

Nutzarbeit

wnet = 847,4 − 374,2 = 473,3 kJ/kg

Antwort

wnet = 473,3 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 44,15%.

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