Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Ein Behälter mit 30 L enthält 250 g N₂ bei 25 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 250 gM = 28,01 g/molV = 30 LT = 25 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Ideales GasgesetzSchwer

Eine feste Menge CO₂ geht von 100 kPa, 10 L, 40 °C über zu 150 kPa und 120 °C. Bestimme das neue Volumen V₂.

P₁ = 100 kPaV₁ = 10 LT₁ = 40 °CP₂ = 150 kPaT₂ = 120 °C

V₂ = L

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 90 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Leichtöl erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 15 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 60 °Ct: 25 → 75 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 225 °C und einem kalten Reservoir mit 10 °C. Sie nimmt 600 kJ Wärme auf. Bestimme die größtmögliche Arbeit W_max, die sie liefern könnte.

T_H = 225 °CT_L = 10 °CQ_H = 600 kJ

W_max = kJ

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Carnot-Wärmekraftmaschine nimmt 130 kW Wärme aus einer Quelle mit 900 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 25 °C ab. Ihre gesamte Arbeit treibt eine Carnot-Kältemaschine an, die einem Gefrierraum mit -30 °C Wärme entzieht und ebenfalls Wärme an die Umgebung mit 25 °C abgibt. Bestimme den Wärmestrom Q̇_L, der dem Gefrierraum entzogen wird.

T_H = 900 °CT₀ = 25 °CT_L = -30 °CQ̇_H = 130 kW

Q̇_L = kW

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 15 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 1,8. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 305 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T₃ am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 15r_c = 1,8T₁ = 305 Kk = 1,4

T₃ = K

8.GaskreisprozesseSchwer

Ein idealer Joule-Prozess (Brayton) arbeitet mit einem Verdichterdruckverhältnis von 15. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r_p = 15k = 1,4

η = %

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 737,5 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 250/28,01 = 8,925 mol

T = 25 + 273,15 = 298,1 K

Druck

P = nRT/V = 8,925·8,314·298,1/0,03 = 737,5 kPa

Antwort

P = 737,5 kPa

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V₂ = 8,37 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Absolute Temperaturen

T₁ = 313,1 K, T₂ = 393,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(100/150)·(393,1/313,1) = 8,37 L

Antwort

V₂ = 8,37 L

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 87,82 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 1,5·2,1·(180 − 90) = 283,5 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 283,5/(1·4,18) = 87,82 °C

Antwort

t_out = 87,82 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 0,2562 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 0,5·2,1·(120 − 60) = 63 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,15)·63 = 53,55 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 53,55/(4,18·50) = 0,2562 kg/s

Antwort

ṁ_c = 0,2562 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: W_max = 259 kJ

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen T_H und T_L kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) und COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energie bleibt immer erhalten: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 225 + 273,15 = 498,1 K

T_L = 10 + 273,15 = 283,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283,1/498,1 = 43,16 %

Maximale Arbeit

W_max = η_max·Q_H = 0,4316·600 = 259 kJ

Antwort

W_max = 259 kJ

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Q̇_L = 428,7 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 900 + 273,15 = 1173 K

T₀ = 25 + 273,15 = 298,1 K

T_L = -30 + 273,15 = 243,1 K

Arbeit der Wärmekraftmaschine

η = 1 − 298,1/1173 = 0,7459

Ẇ = 0,7459·130 = 96,96 kW

Von der Kältemaschine entzogene Wärme

COP_R = 243,1/(298,1 − 243,1) = 4,421

Q̇_L = 4,421·96,96 = 428,7 kW

Antwort

Q̇_L = 428,7 kW

7.Gaskreisprozesse

Antwort: T₃ = 1622 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Ende der Verdichtung

T₂ = 305·15^0,4 = 901 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T₃ = r_c·T₂ = 1,8·901 = 1622 K

Antwort

T₃ = 1622 K

8.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 53,87 %

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 1/15^0,2857 = 1 − 1/2,168 = 53,87%

Antwort

η = 53,87%

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