Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Welches Volumen V nehmen 430 g CH₄ bei 350 kPa und 55 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 430 gM = 16,04 g/molP = 350 kPaT = 55 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Ideales GasgesetzSchwer

Eine feste Menge N₂ geht von 300 kPa, 5 L, 20 °C über zu 650 kPa und 80 °C. Bestimme das neue Volumen V₂.

P₁ = 300 kPaV₁ = 5 LT₁ = 20 °CP₂ = 650 kPaT₂ = 80 °C

V₂ = L

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 130 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Leichtöl erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 100 °Ct: 15 → 65 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine reversible (Carnot-)Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 1500 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 450 °C auf und gibt 639 kJ ab. Bestimme die Temperatur T_L des kalten Reservoirs in °C.

T_H = 450 °CQ_H = 1500 kJQ_L = 639 kJ

T_L = °C

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Carnot-Wärmekraftmaschine nimmt 200 kW Wärme aus einer Quelle mit 800 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 27 °C ab. Ihre gesamte Arbeit treibt eine Carnot-Kältemaschine an, die einem Gefrierraum mit 0 °C Wärme entzieht und ebenfalls Wärme an die Umgebung mit 27 °C abgibt. Bestimme den Wärmestrom Q̇_L, der dem Gefrierraum entzogen wird.

T_H = 800 °CT₀ = 27 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 200 kW

Q̇_L = kW

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 20 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 2. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 295 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T₃ am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 20r_c = 2T₁ = 295 Kk = 1,4

T₃ = K

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 6. Die Luft tritt mit 295 K in den Verdichter und mit 1400 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 82 %, die Turbine von 88 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 6T₁ = 295 KT₃ = 1400 Kη_c = 82%η_t = 88%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 209 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 430/16,04 = 26,81 mol

T = 55 + 273,15 = 328,1 K

Volumen

V = nRT/P = 26,81·8,314·328,1/350 = 209 L

Antwort

V = 209 L

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V₂ = 2,78 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Absolute Temperaturen

T₁ = 293,1 K, T₂ = 353,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(300/650)·(353,1/293,1) = 2,78 L

Antwort

V₂ = 2,78 L

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 25,07 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 1·2,1·(160 − 130) = 63 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 63/(1·4,18) = 25,07 °C

Antwort

t_out = 25,07 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 0,7234 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 1·2,1·(180 − 100) = 168 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,1)·168 = 151,2 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 151,2/(4,18·50) = 0,7234 kg/s

Antwort

ṁ_c = 0,7234 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: T_L = 34,91 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperatur der Quelle

T_H = 450 + 273,15 = 723,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 723,1·639/1500 = 308,1 K = 34,91 °C

Antwort

T_L = 34,91 °C

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Q̇_L = 1457 kW

Absolute Temperaturen

T_H = 800 + 273,15 = 1073 K

T₀ = 27 + 273,15 = 300,1 K

T_L = 0 + 273,15 = 273,1 K

Arbeit der Wärmekraftmaschine

η = 1 − 300,1/1073 = 0,7203

Ẇ = 0,7203·200 = 144,1 kW

Von der Kältemaschine entzogene Wärme

COP_R = 273,1/(300,1 − 273,1) = 10,12

Q̇_L = 10,12·144,1 = 1457 kW

Antwort

Q̇_L = 1457 kW

7.Gaskreisprozesse

Antwort: T₃ = 1956 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Ende der Verdichtung

T₂ = 295·20^0,4 = 977,8 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T₃ = r_c·T₂ = 2·977,8 = 1956 K

Antwort

T₃ = 1956 K

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 254,4 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T_2s = 295·6^0,2857 = 492,2 K

T_4s = 1400/6^0,2857 = 839,1 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(492,2 − 295)/0,82 = 241,7 kJ/kg

w_t = 0,88·1,005·(1400 − 839,1) = 496,1 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 496,1 − 241,7 = 254,4 kJ/kg

Antwort

w_net = 254,4 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 48,72%.

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