Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Welches Volumen V nehmen 110 g Ar bei 700 kPa und 75 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 110 gM = 39,95 g/molP = 700 kPaT = 75 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Ideales GasgesetzSchwer

Bestimme die Dichte ρ von CH₄ bei 900 kPa und 0 °C als ideales Gas.

M = 16,04 g/molP = 900 kPaT = 0 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 100 °Cṁ_c = 0,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 15 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 70 °Ct: 10 → 55 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine reversible Kältemaschine hält einen Kühlraum auf -30 °C, indem sie 0,5 kW Wärme entzieht, und gibt Wärme an die Umgebung mit 20 °C ab. Bestimme den Wärmestrom Q̇_H, den sie abgibt.

T_L = -30 °CT_H = 20 °CQ̇_L = 0,5 kW

Q̇_H = kW

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Ein Kühlschrank hält seinen Kühlraum auf -25 °C in einer Küche mit 35 °C und entzieht dem Kühlraum Wärme mit 1 kW. Bestimme die minimale Antriebsleistung Ẇ_min.

T_H = 35 °CT_L = -25 °CQ̇_L = 1 kW

Ẇ_min = kW

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 22 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 2,5. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 310 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T₃ am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 22r_c = 2,5T₁ = 310 Kk = 1,4

T₃ = K

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 15. Die Luft tritt mit 290 K in den Verdichter und mit 1100 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 15T₁ = 290 KT₃ = 1100 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 11,39 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 110/39,95 = 2,753 mol

T = 75 + 273,15 = 348,1 K

Volumen

V = nRT/P = 2,753·8,314·348,1/700 = 11,39 L

Antwort

V = 11,39 L

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 6,357 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 0 + 273,15 = 273,1 K

Dichte

ρ = 900·16,04/(8,314·273,1) = 6,357 kg/m³

Antwort

ρ = 6,357 kg/m³

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 88,9 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 1·3,6·(140 − 100) = 144 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 144/(0,5·4,18) = 88,9 °C

Antwort

t_out = 88,9 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 0,6616 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 1·2,44·(130 − 70) = 146,4 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,15)·146,4 = 124,4 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 124,4/(4,18·45) = 0,6616 kg/s

Antwort

ṁ_c = 0,6616 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Q̇_H = 0,6028 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 20 + 273,15 = 293,1 K

T_L = -30 + 273,15 = 243,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 0,5·293,1/243,1 = 0,6028 kW

Antwort

Q̇_H = 0,6028 kW

Aufgenommene Leistung: Ẇ = 0,1028 kW.

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇ_min = 0,2418 kW

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen T_H und T_L kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) und COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energie bleibt immer erhalten: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 35 + 273,15 = 308,1 K

T_L = -25 + 273,15 = 248,1 K

Bestmögliche Leistungszahl

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 248,1/(308,1 − 248,1) = 4,136

Minimale Leistung

Die wenigste Arbeit braucht eine reversible Maschine, die die höchste Leistungszahl hat.

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 1/4,136 = 0,2418 kW

Antwort

Ẇ_min = 0,2418 kW

7.Gaskreisprozesse

Antwort: T₃ = 2669 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Ende der Verdichtung

T₂ = 310·22^0,4 = 1067 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T₃ = r_c·T₂ = 2,5·1067 = 2669 K

Antwort

T₃ = 2669 K

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 255,2 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T₂ = 290·15^0,2857 = 628,7 K

T₄ = 1100/15^0,2857 = 507,4 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(628,7 − 290) = 340,4 kJ/kg

w_t = 1,005·(1100 − 507,4) = 595,5 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 595,5 − 340,4 = 255,2 kJ/kg

Antwort

w_net = 255,2 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 57,15%.

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