Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Ein Behälter mit 5 L enthält 250 g He bei 20 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 250 gM = 4,003 g/molV = 5 LT = 20 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Ideales GasgesetzSchwer

Bestimme die Dichte ρ von N₂ bei 100 kPa und 0 °C als ideales Gas.

M = 28,01 g/molP = 100 kPaT = 0 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 60 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Leichtöl erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 5 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 80 °Ct: 30 → 65 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine reversible Kältemaschine hält einen Kühlraum auf 0 °C, indem sie 5,5 kW Wärme entzieht, und gibt Wärme an die Umgebung mit 28 °C ab. Bestimme den Wärmestrom Q̇_H, den sie abgibt.

T_L = 0 °CT_H = 28 °CQ̇_L = 5,5 kW

Q̇_H = kW

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Carnot-Wärmekraftmaschine nimmt 30 kW Wärme aus einer Quelle mit 1000 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 25 °C ab. Ihre gesamte Arbeit treibt eine Carnot-Kältemaschine an, die einem Gefrierraum mit -15 °C Wärme entzieht und ebenfalls Wärme an die Umgebung mit 25 °C abgibt. Bestimme den Wärmestrom Q̇_L, der dem Gefrierraum entzogen wird.

T_H = 1000 °CT₀ = 25 °CT_L = -15 °CQ̇_H = 30 kW

Q̇_L = kW

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 14 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 2,2. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r = 14r_c = 2,2k = 1,4

η = %

8.GaskreisprozesseSchwer

Ein idealer Joule-Prozess (Brayton) arbeitet mit einem Verdichterdruckverhältnis von 14. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r_p = 14k = 1,4

η = %

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 30443 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 250/4,003 = 62,45 mol

T = 20 + 273,15 = 293,1 K

Druck

P = nRT/V = 62,45·8,314·293,1/0,005 = 30443 kPa

Antwort

P = 30443 kPa

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 1,233 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 0 + 273,15 = 273,1 K

Dichte

ρ = 100·28,01/(8,314·273,1) = 1,233 kg/m³

Antwort

ρ = 1,233 kg/m³

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 61,84 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 1·2,1·(170 − 60) = 231 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 231/(1,5·4,18) = 61,84 °C

Antwort

t_out = 61,84 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 1,841 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 1,5·2,1·(170 − 80) = 283,5 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,05)·283,5 = 269,3 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 269,3/(4,18·35) = 1,841 kg/s

Antwort

ṁ_c = 1,841 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Q̇_H = 6,064 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 28 + 273,15 = 301,1 K

T_L = 0 + 273,15 = 273,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 5,5·301,1/273,1 = 6,064 kW

Antwort

Q̇_H = 6,064 kW

Aufgenommene Leistung: Ẇ = 0,5638 kW.

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Q̇_L = 148,3 kW

Absolute Temperaturen

T_H = 1000 + 273,15 = 1273 K

T₀ = 25 + 273,15 = 298,1 K

T_L = -15 + 273,15 = 258,1 K

Arbeit der Wärmekraftmaschine

η = 1 − 298,1/1273 = 0,7658

Ẇ = 0,7658·30 = 22,97 kW

Von der Kältemaschine entzogene Wärme

COP_R = 258,1/(298,1 − 258,1) = 6,454

Q̇_L = 6,454·22,97 = 148,3 kW

Antwort

Q̇_L = 148,3 kW

7.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 58,25 %

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Einspritzterm

(2,2^1,4 − 1)/(1,4·(2,2 − 1)) = 1,2

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 0,348·1,2 = 58,25%

Antwort

η = 58,25%

8.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 52,95 %

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 1/14^0,2857 = 1 − 1/2,126 = 52,95%

Antwort

η = 52,95%

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