Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Ein Behälter mit 30 L enthält 390 g CO₂ bei 85 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 390 gM = 44,01 g/molV = 30 LT = 85 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Ideales GasgesetzSchwer

Bestimme die Dichte ρ von He bei 750 kPa und 170 °C als ideales Gas.

M = 4,003 g/molP = 750 kPaT = 170 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 110 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Leichtöl erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 15 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 90 °Ct: 10 → 80 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 525 °C und einem kalten Reservoir mit 40 °C. Sie nimmt 3300 kJ Wärme auf. Bestimme die größtmögliche Arbeit W_max, die sie liefern könnte.

T_H = 525 °CT_L = 40 °CQ_H = 3300 kJ

W_max = kJ

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Wärmepumpe gibt 14,5 kW Wärme an ein Heizsystem mit 55 °C ab und entzieht die Wärme einer Quelle mit -10 °C. Ihre tatsächliche Leistungszahl beträgt 55 % der Carnot-Leistungszahl zwischen diesen Temperaturen. Bestimme die elektrische Leistung Ẇ, die sie aufnimmt.

T_H = 55 °CT_L = -10 °Cη_II = 55%Q̇_H = 14,5 kW

Ẇ = kW

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 19 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 2. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r = 19r_c = 2k = 1,4

η = %

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 14. Die Luft tritt mit 310 K in den Verdichter und mit 1500 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 85 %, die Turbine von 85 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 14T₁ = 310 KT₃ = 1500 Kη_c = 85%η_t = 85%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 879,6 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 390/44,01 = 8,862 mol

T = 85 + 273,15 = 358,1 K

Druck

P = nRT/V = 8,862·8,314·358,1/0,03 = 879,6 kPa

Antwort

P = 879,6 kPa

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 0,8149 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 170 + 273,15 = 443,1 K

Dichte

ρ = 750·4,003/(8,314·443,1) = 0,8149 kg/m³

Antwort

ρ = 0,8149 kg/m³

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 32,61 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 3·2,1·(140 − 110) = 189 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 189/(2·4,18) = 32,61 °C

Antwort

t_out = 32,61 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 0,7321 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 2·2,1·(150 − 90) = 252 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,15)·252 = 214,2 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 214,2/(4,18·70) = 0,7321 kg/s

Antwort

ṁ_c = 0,7321 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: W_max = 2005 kJ

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen T_H und T_L kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) und COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energie bleibt immer erhalten: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 525 + 273,15 = 798,1 K

T_L = 40 + 273,15 = 313,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313,1/798,1 = 60,77 %

Maximale Arbeit

W_max = η_max·Q_H = 0,6077·3300 = 2005 kJ

Antwort

W_max = 2005 kJ

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇ = 5,222 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 55 + 273,15 = 328,1 K

T_L = -10 + 273,15 = 263,1 K

Carnot- und tatsächliche Leistungszahl

COP_max = 328,1/(328,1 − 263,1) = 5,048

COP = 0,55·5,048 = 2,777

Aufgenommene Leistung

Ẇ = Q̇_H/COP = 14,5/2,777 = 5,222 kW

Antwort

Ẇ = 5,222 kW

7.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 63,95 %

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Einspritzterm

(2^1,4 − 1)/(1,4·(2 − 1)) = 1,171

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 0,308·1,171 = 63,95%

Antwort

η = 63,95%

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 266 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T_2s = 310·14^0,2857 = 658,9 K

T_4s = 1500/14^0,2857 = 705,7 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(658,9 − 310)/0,85 = 412,5 kJ/kg

w_t = 0,85·1,005·(1500 − 705,7) = 678,5 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 678,5 − 412,5 = 266 kJ/kg

Antwort

w_net = 266 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 60,8%.

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