Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Welches Volumen V nehmen 370 g Ar bei 600 kPa und 5 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 370 gM = 39,95 g/molP = 600 kPaT = 5 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Ideales GasgesetzSchwer

Eine feste Menge N₂ geht von 100 kPa, 2 L, 30 °C über zu 300 kPa und 150 °C. Bestimme das neue Volumen V₂.

P₁ = 100 kPaV₁ = 2 LT₁ = 30 °CP₂ = 300 kPaT₂ = 150 °C

V₂ = L

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 80 °Cṁ_c = 3 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 80 °Ct: 15 → 85 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine Wärmekraftmaschine nimmt Wärme aus einer Quelle mit 350 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 15 °C ab. Ihr tatsächlicher thermischer Wirkungsgrad beträgt 27 %. Bestimme ihren exergetischen Wirkungsgrad η_II, das Verhältnis des tatsächlichen Wirkungsgrads zum Carnot-Wirkungsgrad.

T_H = 350 °CT_L = 15 °Cη = 27%

η_II = %

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Wärmepumpe gibt 19,5 kW Wärme an ein Heizsystem mit 21 °C ab und entzieht die Wärme einer Quelle mit 5 °C. Ihre tatsächliche Leistungszahl beträgt 45 % der Carnot-Leistungszahl zwischen diesen Temperaturen. Bestimme die elektrische Leistung Ẇ, die sie aufnimmt.

T_H = 21 °CT_L = 5 °Cη_II = 45%Q̇_H = 19,5 kW

Ẇ = kW

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 19 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 2,5. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r = 19r_c = 2,5k = 1,4

η = %

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 6. Die Luft tritt mit 288 K in den Verdichter und mit 1300 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 88 %, die Turbine von 90 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 6T₁ = 288 KT₃ = 1300 Kη_c = 88%η_t = 90%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 35,7 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 370/39,95 = 9,262 mol

T = 5 + 273,15 = 278,1 K

Volumen

V = nRT/P = 9,262·8,314·278,1/600 = 35,7 L

Antwort

V = 35,7 L

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V₂ = 0,9306 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Absolute Temperaturen

T₁ = 303,1 K, T₂ = 423,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(100/300)·(423,1/303,1) = 0,9306 L

Antwort

V₂ = 0,9306 L

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 43,71 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 2·3,6·(130 − 80) = 360 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 360/(3·4,18) = 43,71 °C

Antwort

t_out = 43,71 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 0,788 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 1,5·2,44·(150 − 80) = 256,2 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,1)·256,2 = 230,6 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 230,6/(4,18·70) = 0,788 kg/s

Antwort

ṁ_c = 0,788 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: η_II = 50,22 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 350 + 273,15 = 623,1 K

T_L = 15 + 273,15 = 288,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

η_Carnot = 1 − 288,1/623,1 = 53,76 %

Exergetischer Wirkungsgrad

η_II = η/η_Carnot = 27/53,76 = 50,22 %

Antwort

η_II = 50,22 %

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇ = 2,357 kW

Absolute Temperaturen

T_H = 21 + 273,15 = 294,1 K

T_L = 5 + 273,15 = 278,1 K

Carnot- und tatsächliche Leistungszahl

COP_max = 294,1/(294,1 − 278,1) = 18,38

COP = 0,45·18,38 = 8,273

Aufgenommene Leistung

Ẇ = Q̇_H/COP = 19,5/8,273 = 2,357 kW

Antwort

Ẇ = 2,357 kW

7.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 61,77 %

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Einspritzterm

(2,5^1,4 − 1)/(1,4·(2,5 − 1)) = 1,241

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 0,308·1,241 = 61,77%

Antwort

η = 61,77%

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 251,2 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T_2s = 288·6^0,2857 = 480,5 K

T_4s = 1300/6^0,2857 = 779,1 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(480,5 − 288)/0,88 = 219,9 kJ/kg

w_t = 0,9·1,005·(1300 − 779,1) = 471,1 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 471,1 − 219,9 = 251,2 kJ/kg

Antwort

w_net = 251,2 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 46,67%.

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