Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
50 g N₂V = 5 LT = 65 °CP = ?

Ein Behälter mit 5 L enthält 50 g N₂ bei 65 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 50 gM = 28,01 g/molV = 5 LT = 65 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Ideales GasgesetzSchwer
He, M = 4,003 g/molP = 150 kPaT = 70 °Cρ = ?

Bestimme die Dichte ρ von He bei 150 kPa und 70 °C als ideales Gas.

M = 4,003 g/molP = 150 kPaT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteLeichtöl · 140 °C110 °CWasser · 30 °Ct = ? °C

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 3 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 140 → 110 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 30 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteGlykolgemisch · 180 °C70 °CWasser · 15 °C70 °C · ṁ = ?15 % Verlust

Heißes Glykolgemisch erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 15 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 180 → 70 °Ct: 15 → 70 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 15 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 425 °CTL​ = ?EQH​ = 2500 kJQL​ = 978 kJW

Eine reversible (Carnot-)Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 2500 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 425 °C auf und gibt 978 kJ ab. Bestimme die Temperatur TL des kalten Reservoirs in °C.

TH = 425 °CQH = 2500 kJQL = 978 kJ
TL = °C
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
TH​ = 20 °CTL​ = 2 °CHPQ̇H​ = 15 kWQ̇L​Ẇ = ?

Eine Wärmepumpe hält ein Haus auf 20 °C, während es draußen 2 °C sind, und liefert 15 kW Wärme an das Haus. Bestimme die minimale Antriebsleistung Ẇmin.

TH = 20 °CTL = 2 °CQ̇H = 15 kW
Ẇmin = kW
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 15 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 2. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 310 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T3 am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 15rc = 2T1 = 310 Kk = 1,4
T3 = K
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 20. Die Luft tritt mit 288 K in den Verdichter und mit 1100 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

rp = 20T1 = 288 KT3 = 1100 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 1004 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 50/28,01 = 1,785 mol
T = 65 + 273,15 = 338,1 K

Druck

P = nRT/V = 1,785·8,314·338,1/0,005 = 1004 kPa

Antwort

P = 1004 kPa
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 0,2105 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Dichte

ρ = 150·4,003/(8,314·343,1) = 0,2105 kg/m³

Antwort

ρ = 0,2105 kg/m³
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 52,61 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 3·2,1·(140 − 110) = 189 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 30 + 189/(2·4,18) = 52,61 °C

Antwort

tout = 52,61 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 0,7321 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 0,5·3,6·(180 − 70) = 198 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,15)·198 = 168,3 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 168,3/(4,18·55) = 0,7321 kg/s

Antwort

ṁc = 0,7321 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: TL = −0,03372 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperatur der Quelle

TH = 425 + 273,15 = 698,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

TL = TH·QL/QH = 698,1·978/2500 = 273,1 K = −0,03372 °C

Antwort

TL = −0,03372 °C
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇmin = 0,921 kW

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 20 + 273,15 = 293,1 K
TL = 2 + 273,15 = 275,1 K

Bestmögliche Leistungszahl

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 293,1/(293,1 − 275,1) = 16,29

Minimale Leistung

Die wenigste Arbeit braucht eine reversible Maschine, die die höchste Leistungszahl hat.

Ẇmin = Q̇H/COP = 15/16,29 = 0,921 kW

Antwort

Ẇmin = 0,921 kW
7.Gaskreisprozesse

Antwort: T3 = 1832 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Ende der Verdichtung

T2 = 310·150,4 = 915,8 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T3 = rc·T2 = 2·915,8 = 1832 K

Antwort

T3 = 1832 K
8.Gaskreisprozesse

Antwort: wnet = 244 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Isentrope Temperaturen

T2 = 288·200,2857 = 677,8 K
T4 = 1100/200,2857 = 467,4 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

wc = 1,005·(677,8 − 288) = 391,8 kJ/kg
wt = 1,005·(1100 − 467,4) = 635,8 kJ/kg

Nutzarbeit

wnet = 635,8 − 391,8 = 244 kJ/kg

Antwort

wnet = 244 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 61,62%.

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