Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Welches Volumen V nehmen 320 g CO₂ bei 150 kPa und 75 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 320 gM = 44,01 g/molP = 150 kPaT = 75 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Ideales GasgesetzSchwer

Eine feste Menge O₂ geht von 350 kPa, 5 L, 10 °C über zu 350 kPa und 120 °C. Bestimme das neue Volumen V₂.

P₁ = 350 kPaV₁ = 5 LT₁ = 10 °CP₂ = 350 kPaT₂ = 120 °C

V₂ = L

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 60 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Leichtöl erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 5 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 90 °Ct: 30 → 75 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 675 °C und einem kalten Reservoir mit 10 °C. Sie nimmt 600 kJ Wärme auf. Bestimme die größtmögliche Arbeit W_max, die sie liefern könnte.

T_H = 675 °CT_L = 10 °CQ_H = 600 kJ

W_max = kJ

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Zwei Carnot-Maschinen arbeiten hintereinander. Maschine A nimmt Wärme aus einem Reservoir mit 700 °C auf und gibt Wärme an ein Zwischenreservoir mit der Temperatur T_m ab. Maschine B nimmt diese gesamte Wärme auf und gibt Wärme an ein Reservoir mit 40 °C ab. Beide Maschinen verrichten dieselbe Arbeit. Bestimme T_m in °C.

T_H = 700 °CT_L = 40 °C

T_m = °C

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 15 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 2. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 300 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T₃ am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 15r_c = 2T₁ = 300 Kk = 1,4

T₃ = K

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 12. Die Luft tritt mit 310 K in den Verdichter und mit 1200 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 85 %, die Turbine von 92 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 12T₁ = 310 KT₃ = 1200 Kη_c = 85%η_t = 92%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 140,3 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 320/44,01 = 7,271 mol

T = 75 + 273,15 = 348,1 K

Volumen

V = nRT/P = 7,271·8,314·348,1/150 = 140,3 L

Antwort

V = 140,3 L

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V₂ = 6,942 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Absolute Temperaturen

T₁ = 283,1 K, T₂ = 393,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(350/350)·(393,1/283,1) = 6,942 L

Antwort

V₂ = 6,942 L

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 21,72 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 0,5·2,1·(130 − 60) = 73,5 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 73,5/(1,5·4,18) = 21,72 °C

Antwort

t_out = 21,72 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 1,273 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 3·2,1·(130 − 90) = 252 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,05)·252 = 239,4 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 239,4/(4,18·45) = 1,273 kg/s

Antwort

ṁ_c = 1,273 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: W_max = 420,8 kJ

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen T_H und T_L kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) und COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energie bleibt immer erhalten: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 675 + 273,15 = 948,1 K

T_L = 10 + 273,15 = 283,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283,1/948,1 = 70,14 %

Maximale Arbeit

W_max = η_max·Q_H = 0,7014·600 = 420,8 kJ

Antwort

W_max = 420,8 kJ

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: T_m = 370 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 700 + 273,15 = 973,1 K

T_L = 40 + 273,15 = 313,1 K

Gleiche Arbeit

W = Q·(1 − T_low/T_high), und Q/T ist an jedem Reservoir gleich, also ist W proportional zum Temperaturgefälle.

T_m = (973,1 + 313,1)/2 = 643,1 K = 370 °C

Antwort

T_m = 370 °C

7.Gaskreisprozesse

Antwort: T₃ = 1773 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Ende der Verdichtung

T₂ = 300·15^0,4 = 886,3 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T₃ = r_c·T₂ = 2·886,3 = 1773 K

Antwort

T₃ = 1773 K

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 185 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T_2s = 310·12^0,2857 = 630,5 K

T_4s = 1200/12^0,2857 = 590 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(630,5 − 310)/0,85 = 379 kJ/kg

w_t = 0,92·1,005·(1200 − 590) = 564 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 564 − 379 = 185 kJ/kg

Antwort

w_net = 185 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 67,19%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1