Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Welches Volumen V nehmen 60 g CH₄ bei 400 kPa und 70 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 60 gM = 16,04 g/molP = 400 kPaT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Ideales GasgesetzSchwer

Eine feste Menge CH₄ geht von 350 kPa, 2 L, 15 °C über zu 350 kPa und 220 °C. Bestimme das neue Volumen V₂.

P₁ = 350 kPaV₁ = 2 LT₁ = 15 °CP₂ = 350 kPaT₂ = 220 °C

V₂ = L

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 90 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 80 °Ct: 15 → 50 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine reversible (Carnot-)Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 4500 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 775 °C auf und gibt 1387 kJ ab. Bestimme die Temperatur T_L des kalten Reservoirs in °C.

T_H = 775 °CQ_H = 4500 kJQ_L = 1387 kJ

T_L = °C

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 1500 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 900 °C auf, verrichtet 570 kJ Arbeit und gibt den Rest an ein Reservoir mit 10 °C ab. Bestimme die gesamte erzeugte Entropie S_gen pro Zyklus.

T_H = 900 °CT_L = 10 °CQ_H = 1500 kJW = 570 kJ

S_gen = kJ/K

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 18 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 3. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 290 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme q_in pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r = 18r_c = 3T₁ = 290 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.GaskreisprozesseSchwer

Ein idealer Joule-Prozess (Brayton) arbeitet mit einem Verdichterdruckverhältnis von 12. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r_p = 12k = 1,4

η = %

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 26,68 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 60/16,04 = 3,741 mol

T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Volumen

V = nRT/P = 3,741·8,314·343,1/400 = 26,68 L

Antwort

V = 26,68 L

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V₂ = 3,423 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Absolute Temperaturen

T₁ = 288,1 K, T₂ = 493,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(350/350)·(493,1/288,1) = 3,423 L

Antwort

V₂ = 3,423 L

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 53,06 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 2,5·3,6·(120 − 90) = 270 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 270/(1,5·4,18) = 53,06 °C

Antwort

t_out = 53,06 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 2,101 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 2·2,44·(150 − 80) = 341,6 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,1)·341,6 = 307,4 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 307,4/(4,18·35) = 2,101 kg/s

Antwort

ṁ_c = 2,101 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: T_L = 49,91 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperatur der Quelle

T_H = 775 + 273,15 = 1048 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 1048·1387/4500 = 323,1 K = 49,91 °C

Antwort

T_L = 49,91 °C

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: S_gen = 2,006 kJ/K

Entropieerzeugung: Über einen vollen Zyklus hat das Arbeitsmedium keine Netto-Entropieänderung. Das heiße Reservoir verliert Q_H/T_H, das kalte Reservoir gewinnt Q_L/T_L. Ihre Summe ist die erzeugte Entropie; sie ist null für einen reversiblen Kreisprozess und positiv für jeden realen.

Abgegebene Wärme

Q_L = Q_H − W = 1500 − 570 = 930 kJ

Absolute Temperaturen

T_H = 900 + 273,15 = 1173 K

T_L = 10 + 273,15 = 283,1 K

Entropieänderungen der Reservoire

ΔS_H = −1500/1173 = −1,279 kJ/K

ΔS_L = 930/283,1 = 3,284 kJ/K

S_gen = 3,284 − 1,279 = 2,006 kJ/K

Antwort

S_gen = 2,006 kJ/K

S_gen > 0, die Maschine ist also möglich, aber irreversibel.

7.Gaskreisprozesse

Antwort: q_in = 1852 kJ/kg

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperaturen

T₂ = 290·18^0,4 = 921,5 K

T₃ = 3·921,5 = 2765 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

q_in = 1,005·(2765 − 921,5) = 1852 kJ/kg

Antwort

q_in = 1852 kJ/kg

8.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 50,83 %

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 1/12^0,2857 = 1 − 1/2,034 = 50,83%

Antwort

η = 50,83%

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1