Ideales Gasgesetz
- Ideales Gasgesetz
- pV = nRT
- Gaskonstante
- R = 8,314 J/(mol·K)
- Allgemeine Gasgleichung
- p1V1/T1 = p2V2/T2
- Stoffmenge
- n = m/M
- Temperatur
- T[K] = T[°C] + 273,15
Technische Thermodynamik 1: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Energiebilanz
- Fühlbare Wärme
- Q = ṁ·cp·ΔT
- Latente Wärme
- Q = ṁ·hfg
- Mischen
- ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
- Wasser
- cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)
Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen
- Wirkungsgrad
- η = W/QH = 1 − QC/QH
- Carnot-Wirkungsgrad
- ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
- Leistungszahl der Kältemaschine
- COPR = QC/W
- Leistungszahl der Wärmepumpe
- COPHP = QH/W = COPR + 1
- Energiebilanz
- QH = W + QC
Gaskreisprozesse
- Isentrop, Volumenverhältnis
- T2/T1 = rk−1
- Isentrop, Druckverhältnis
- T2/T1 = rp(k−1)/k
- Otto-Wirkungsgrad
- η = 1 − 1/rk−1
- Diesel-Wirkungsgrad
- η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
- Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
- η = 1 − 1/rp(k−1)/k
- Zugeführte Wärme
- Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
- Nutzarbeit des Joule-Prozesses
- w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
- Isentrope Wirkungsgrade
- wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
- Kaltluft-Standard
- k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)
2Übungsaufgaben
1.Ideales GasgesetzMittel
Ein Behälter mit 30 L enthält 360 g O₂ bei 80 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.
m = 360 gM = 32 g/molV = 30 LT = 80 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Ideales GasgesetzSchwer
Bestimme die Dichte ρ von CH₄ bei 150 kPa und 100 °C als ideales Gas.
M = 16,04 g/molP = 150 kPaT = 100 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.EnergiebilanzMittel
Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 170 → 100 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 150 → 60 °Ct: 20 → 75 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
Eine reversible Kältemaschine hält einen Kühlraum auf -5 °C, indem sie 3 kW Wärme entzieht, und gibt Wärme an die Umgebung mit 40 °C ab. Bestimme den Wärmestrom Q̇H, den sie abgibt.
TL = -5 °CTH = 40 °CQ̇L = 3 kW
Q̇H = kW
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
Eine Carnot-Wärmekraftmaschine nimmt 130 kW Wärme aus einer Quelle mit 550 °C auf und gibt Wärme an die Umgebung mit 27 °C ab. Ihre gesamte Arbeit treibt eine Carnot-Kältemaschine an, die einem Gefrierraum mit -25 °C Wärme entzieht und ebenfalls Wärme an die Umgebung mit 27 °C abgibt. Bestimme den Wärmestrom Q̇L, der dem Gefrierraum entzogen wird.
TH = 550 °CT0 = 27 °CTL = -25 °CQ̇H = 130 kW
Q̇L = kW
7.GaskreisprozesseMittel
Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 20 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 2. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 290 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme qin pro Kilogramm Luft in kJ/kg.
r = 20rc = 2T1 = 290 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.GaskreisprozesseSchwer
Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 16. Die Luft tritt mit 290 K in den Verdichter und mit 1300 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.
rp = 16T1 = 290 KT3 = 1300 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg
3Lösungen
1.Ideales Gasgesetz
Antwort: P = 1101 kPa
Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.
Stoffmenge
n = m/M = 360/32 = 11,25 mol
T = 80 + 273,15 = 353,1 K
Druck
P = nRT/V = 11,25·8,314·353,1/0,03 = 1101 kPa
Antwort
P = 1101 kPa
2.Ideales Gasgesetz
Antwort: ρ = 0,7755 kg/m³
Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).
Gasgesetz umstellen
PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 100 + 273,15 = 373,1 K
Dichte
ρ = 150·16,04/(8,314·373,1) = 0,7755 kg/m³
Antwort
ρ = 0,7755 kg/m³
3.Energiebilanz
Antwort: tout = 55,22 °C
Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).
Vom heißen Strom abgegebene Wärme
Q = 1,5·3,6·(170 − 100) = 378 kW
Vom Wasser aufgenommene Wärme
tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 378/(2·4,18) = 55,22 °C
Antwort
tout = 55,22 °C
4.Energiebilanz
Antwort: ṁc = 1,719 kg/s
Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.
Abgegebene Wärme
Qh = 2·2,44·(150 − 60) = 439,2 kW
Wärme, die das Wasser erreicht
Qc = (1 − 0,1)·439,2 = 395,3 kW
Wasserstrom
ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 395,3/(4,18·55) = 1,719 kg/s
Antwort
ṁc = 1,719 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen
Antwort: Q̇H = 3,503 kW
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Absolute Temperaturen
TH = 40 + 273,15 = 313,1 K
TL = -5 + 273,15 = 268,1 K
Wärmeverhältnis im reversiblen Fall
Q̇H = Q̇L·TH/TL = 3·313,1/268,1 = 3,503 kW
Antwort
Q̇H = 3,503 kW
Aufgenommene Leistung: Ẇ = 0,5034 kW.
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen
Antwort: Q̇L = 394,2 kW
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Absolute Temperaturen
TH = 550 + 273,15 = 823,1 K
T0 = 27 + 273,15 = 300,1 K
TL = -25 + 273,15 = 248,1 K
Arbeit der Wärmekraftmaschine
η = 1 − 300,1/823,1 = 0,6354
Ẇ = 0,6354·130 = 82,6 kW
Von der Kältemaschine entzogene Wärme
COPR = 248,1/(300,1 − 248,1) = 4,772
Q̇L = 4,772·82,6 = 394,2 kW
Antwort
Q̇L = 394,2 kW
7.Gaskreisprozesse
Antwort: qin = 966 kJ/kg
Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
Temperaturen
T2 = 290·200,4 = 961,2 K
T3 = 2·961,2 = 1922 K
Wärmezufuhr bei konstantem Druck
qin = 1,005·(1922 − 961,2) = 966 kJ/kg
Antwort
qin = 966 kJ/kg
8.Gaskreisprozesse
Antwort: wnet = 362,7 kJ/kg
Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.
Isentrope Temperaturen
T2 = 290·160,2857 = 640,4 K
T4 = 1300/160,2857 = 588,7 K
Verdichter- und Turbinenarbeit
wc = 1,005·(640,4 − 290) = 352,1 kJ/kg
wt = 1,005·(1300 − 588,7) = 714,8 kJ/kg
Nutzarbeit
wnet = 714,8 − 352,1 = 362,7 kJ/kg
Antwort
wnet = 362,7 kJ/kg
Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 49,26%.
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