Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz: pV = nRT
Gaskonstante: R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Stoffmenge: n = m/M
Temperatur: T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme: Q = ṁ·c_p·ΔT
Latente Wärme: Q = ṁ·h_fg
Mischen: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Wasser: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Carnot-Wirkungsgrad: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine: COP_R = Q_C/W
Leistungszahl der Wärmepumpe: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Energiebilanz: Q_H = W + Q_C

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrop, Druckverhältnis: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad: η = 1 − 1/r^k−1
Diesel-Wirkungsgrad: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton): η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Zugeführte Wärme: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Joule (Brayton): c_p(T₃ − T₂)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Isentrope Wirkungsgrade: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Kaltluft-Standard: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel

Welches Volumen V nehmen 360 g O₂ bei 550 kPa und 85 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 360 gM = 32 g/molP = 550 kPaT = 85 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Ideales GasgesetzSchwer

Eine feste Menge CO₂ geht von 200 kPa, 5 L, 30 °C über zu 350 kPa und 110 °C. Bestimme das neue Volumen V₂.

P₁ = 200 kPaV₁ = 5 LT₁ = 30 °CP₂ = 350 kPaT₂ = 110 °C

V₂ = L

3.EnergiebilanzMittel

Heißes Ethanol kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers t_out.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 80 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.EnergiebilanzSchwer

Heißes Glykolgemisch erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 15 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁ_c.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 110 °Ct: 20 → 60 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 500 °C und einem kalten Reservoir mit 25 °C. Sie nimmt 4500 kJ Wärme auf. Bestimme die größtmögliche Arbeit W_max, die sie liefern könnte.

T_H = 500 °CT_L = 25 °CQ_H = 4500 kJ

W_max = kJ

6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer

Eine Wärmepumpe gibt 15 kW Wärme an ein Heizsystem mit 45 °C ab und entzieht die Wärme einer Quelle mit -5 °C. Ihre tatsächliche Leistungszahl beträgt 45 % der Carnot-Leistungszahl zwischen diesen Temperaturen. Bestimme die elektrische Leistung Ẇ, die sie aufnimmt.

T_H = 45 °CT_L = -5 °Cη_II = 45%Q̇_H = 15 kW

Ẇ = kW

7.GaskreisprozesseMittel

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 17 und ein Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ = 2,2. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 300 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme q_in pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r = 17r_c = 2,2T₁ = 300 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.GaskreisprozesseSchwer

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 10. Die Luft tritt mit 300 K in den Verdichter und mit 1500 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 80 %, die Turbine von 92 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) und c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w_net pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r_p = 10T₁ = 300 KT₃ = 1500 Kη_c = 80%η_t = 92%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 60,91 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 360/32 = 11,25 mol

T = 85 + 273,15 = 358,1 K

Volumen

V = nRT/P = 11,25·8,314·358,1/550 = 60,91 L

Antwort

V = 60,91 L

2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V₂ = 3,611 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Absolute Temperaturen

T₁ = 303,1 K, T₂ = 383,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(200/350)·(383,1/303,1) = 3,611 L

Antwort

V₂ = 3,611 L

3.Energiebilanz

Antwort: t_out = 82,54 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 3·2,44·(140 − 80) = 439,2 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 439,2/(2·4,18) = 82,54 °C

Antwort

t_out = 82,54 °C

4.Energiebilanz

Antwort: ṁ_c = 2,288 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Q_h = 2,5·3,6·(160 − 110) = 450 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Q_c = (1 − 0,15)·450 = 382,5 kW

Wasserstrom

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 382,5/(4,18·40) = 2,288 kg/s

Antwort

ṁ_c = 2,288 kg/s

5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: W_max = 2765 kJ

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen T_H und T_L kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) und COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energie bleibt immer erhalten: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 500 + 273,15 = 773,1 K

T_L = 25 + 273,15 = 298,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298,1/773,1 = 61,44 %

Maximale Arbeit

W_max = η_max·Q_H = 0,6144·4500 = 2765 kJ

Antwort

W_max = 2765 kJ

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇ = 5,239 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Absolute Temperaturen

T_H = 45 + 273,15 = 318,1 K

T_L = -5 + 273,15 = 268,1 K

Carnot- und tatsächliche Leistungszahl

COP_max = 318,1/(318,1 − 268,1) = 6,363

COP = 0,45·6,363 = 2,863

Aufgenommene Leistung

Ẇ = Q̇_H/COP = 15/2,863 = 5,239 kW

Antwort

Ẇ = 5,239 kW

7.Gaskreisprozesse

Antwort: q_in = 1124 kJ/kg

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis r_c = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperaturen

T₂ = 300·17^0,4 = 931,8 K

T₃ = 2,2·931,8 = 2050 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

q_in = 1,005·(2050 − 931,8) = 1124 kJ/kg

Antwort

q_in = 1124 kJ/kg

8.Gaskreisprozesse

Antwort: w_net = 317,8 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis r_p = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k und η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Nutzarbeit w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter w_s/η_c, und die Turbine liefert η_t·w_s.

Isentrope Temperaturen

T_2s = 300·10^0,2857 = 579,2 K

T_4s = 1500/10^0,2857 = 776,9 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

w_c = 1,005·(579,2 − 300)/0,8 = 350,8 kJ/kg

w_t = 0,92·1,005·(1500 − 776,9) = 668,6 kJ/kg

Nutzarbeit

w_net = 668,6 − 350,8 = 317,8 kJ/kg

Antwort

w_net = 317,8 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: w_c/w_t = 52,46%.

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