Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
220 g ArP = 500 kPaT = 90 °CV = ?

Welches Volumen V nehmen 220 g Ar bei 500 kPa und 90 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 220 gM = 39,95 g/molP = 500 kPaT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Ideales GasgesetzSchwer
Zustand 1Zustand 2

Eine feste Menge N₂ geht von 250 kPa, 5 L, 30 °C über zu 750 kPa und 110 °C. Bestimme das neue Volumen V2.

P1 = 250 kPaV1 = 5 LT1 = 30 °CP2 = 750 kPaT2 = 110 °C
V2 = L
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteGlykolgemisch · 120 °C80 °CWasser · 30 °Ct = ? °C

Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 120 → 80 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 30 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteGlykolgemisch · 120 °C80 °CWasser · 10 °C75 °C · ṁ = ?15 % Verlust

Heißes Glykolgemisch erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 15 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 120 → 80 °Ct: 10 → 75 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 15 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 600 °CTL​ = 5 °CEQH​QL​W

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 600 °C und einem kalten Reservoir mit 5 °C. Bestimme den höchstmöglichen thermischen Wirkungsgrad ηmax.

TH = 600 °CTL = 5 °C
ηmax = %
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
TH​ = 21 °CTL​ = -5 °CHPQ̇H​ = 5 kWQ̇L​Ẇ

Eine Wärmepumpe hält ein Haus auf 21 °C, während es draußen -5 °C sind, und liefert 5 kW Wärme an das Haus. Bestimme die höchstmögliche Leistungszahl COPmax.

TH = 21 °CTL = -5 °CQ̇H = 5 kW
COPmax =
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 20 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 1,8. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 320 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Temperatur T3 am Ende der Wärmezufuhr in K.

r = 20rc = 1,8T1 = 320 Kk = 1,4
T3 = K
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 20. Die Luft tritt mit 295 K in den Verdichter und mit 1500 K in die Turbine ein. Der Verdichter hat einen isentropen Wirkungsgrad von 85 %, die Turbine von 88 %. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

rp = 20T1 = 295 KT3 = 1500 Kηc = 85%ηt = 88%k = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 33,25 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 220/39,95 = 5,507 mol
T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Volumen

V = nRT/P = 5,507·8,314·363,1/500 = 33,25 L

Antwort

V = 33,25 L
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V2 = 2,106 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P1V1/T1 = P2V2/T2.

Absolute Temperaturen

T1 = 303,1 K, T2 = 383,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 5·(250/750)·(383,1/303,1) = 2,106 L

Antwort

V2 = 2,106 L
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 47,22 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 0,5·3,6·(120 − 80) = 72 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 30 + 72/(1·4,18) = 47,22 °C

Antwort

tout = 47,22 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 0,2252 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 0,5·3,6·(120 − 80) = 72 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,15)·72 = 61,2 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 61,2/(4,18·65) = 0,2252 kg/s

Antwort

ṁc = 0,2252 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: ηmax = 68,14 %

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 600 + 273,15 = 873,1 K
TL = 5 + 273,15 = 278,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 278,1/873,1 = 68,14 %

Antwort

ηmax = 68,14 %
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: COPmax = 11,31

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 21 + 273,15 = 294,1 K
TL = -5 + 273,15 = 268,1 K

Bestmögliche Leistungszahl

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 294,1/(294,1 − 268,1) = 11,31

Antwort

COPmax = 11,31
7.Gaskreisprozesse

Antwort: T3 = 1909 K

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Ende der Verdichtung

T2 = 320·200,4 = 1061 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

T3 = rc·T2 = 1,8·1061 = 1909 K

Antwort

T3 = 1909 K
8.Gaskreisprozesse

Antwort: wnet = 290,8 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Isentrope Temperaturen

T2s = 295·200,2857 = 694,3 K
T4s = 1500/200,2857 = 637,3 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

wc = 1,005·(694,3 − 295)/0,85 = 472,1 kJ/kg
wt = 0,88·1,005·(1500 − 637,3) = 762,9 kJ/kg

Nutzarbeit

wnet = 762,9 − 472,1 = 290,8 kJ/kg

Antwort

wnet = 290,8 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 61,88%.

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