Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
460 g ArV = 50 LT = 25 °CP = ?

Ein Behälter mit 50 L enthält 460 g Ar bei 25 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 460 gM = 39,95 g/molV = 50 LT = 25 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Ideales GasgesetzSchwer
O₂, M = 32 g/molP = 200 kPaT = 90 °Cρ = ?

Bestimme die Dichte ρ von O₂ bei 200 kPa und 90 °C als ideales Gas.

M = 32 g/molP = 200 kPaT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteEthanol · 120 °C60 °CWasser · 20 °Ct = ? °C

Heißes Ethanol kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 120 → 60 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 20 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteGlykolgemisch · 160 °C120 °CWasser · 15 °C30 °C · ṁ = ?10 % Verlust

Heißes Glykolgemisch erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 160 → 120 °Ct: 15 → 30 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 475 °CTL​ = 10 °CEQH​ = 4500 kJQL​W = ?

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 475 °C und einem kalten Reservoir mit 10 °C. Sie nimmt 4500 kJ Wärme auf. Bestimme die größtmögliche Arbeit Wmax, die sie liefern könnte.

TH = 475 °CTL = 10 °CQH = 4500 kJ
Wmax = kJ
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
TH​ = 28 °CTL​ = -10 °CRQ̇H​Q̇L​ = 2,5 kWẆ = ?

Ein Kühlschrank hält seinen Kühlraum auf -10 °C in einer Küche mit 28 °C und entzieht dem Kühlraum Wärme mit 2,5 kW. Bestimme die minimale Antriebsleistung Ẇmin.

TH = 28 °CTL = -10 °CQ̇L = 2,5 kW
Ẇmin = kW
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 16 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 1,5. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r = 16rc = 1,5k = 1,4
η = %
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 15. Die Luft tritt mit 295 K in den Verdichter und mit 1200 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

rp = 15T1 = 295 KT3 = 1200 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 570,8 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 460/39,95 = 11,51 mol
T = 25 + 273,15 = 298,1 K

Druck

P = nRT/V = 11,51·8,314·298,1/0,05 = 570,8 kPa

Antwort

P = 570,8 kPa
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: ρ = 2,12 kg/m³

Dichte eines idealen Gases: ρ = PM/(RT).

Gasgesetz umstellen

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Dichte

ρ = 200·32/(8,314·363,1) = 2,12 kg/m³

Antwort

ρ = 2,12 kg/m³
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 66,7 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 2·2,44·(120 − 60) = 292,8 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 20 + 292,8/(1,5·4,18) = 66,7 °C

Antwort

tout = 66,7 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 3,1 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 1,5·3,6·(160 − 120) = 216 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,1)·216 = 194,4 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 194,4/(4,18·15) = 3,1 kg/s

Antwort

ṁc = 3,1 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Wmax = 2797 kJ

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 475 + 273,15 = 748,1 K
TL = 10 + 273,15 = 283,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 283,1/748,1 = 62,15 %

Maximale Arbeit

Wmax = ηmax·QH = 0,6215·4500 = 2797 kJ

Antwort

Wmax = 2797 kJ
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Ẇmin = 0,361 kW

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 28 + 273,15 = 301,1 K
TL = -10 + 273,15 = 263,1 K

Bestmögliche Leistungszahl

COPR,max = TL/(TH − TL) = 263,1/(301,1 − 263,1) = 6,925

Minimale Leistung

Die wenigste Arbeit braucht eine reversible Maschine, die die höchste Leistungszahl hat.

Ẇmin = Q̇L/COP = 2,5/6,925 = 0,361 kW

Antwort

Ẇmin = 0,361 kW
7.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 63,99 %

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Einspritzterm

(1,51,4 − 1)/(1,4·(1,5 − 1)) = 1,092

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 0,3299·1,092 = 63,99%

Antwort

η = 63,99%
8.Gaskreisprozesse

Antwort: wnet = 303,5 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Isentrope Temperaturen

T2 = 295·150,2857 = 639,5 K
T4 = 1200/150,2857 = 553,5 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

wc = 1,005·(639,5 − 295) = 346,2 kJ/kg
wt = 1,005·(1200 − 553,5) = 649,7 kJ/kg

Nutzarbeit

wnet = 649,7 − 346,2 = 303,5 kJ/kg

Antwort

wnet = 303,5 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 53,29%.

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