Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
70 g ArP = 450 kPaT = 95 °CV = ?

Welches Volumen V nehmen 70 g Ar bei 450 kPa und 95 °C ein? Behandle es als ideales Gas.

m = 70 gM = 39,95 g/molP = 450 kPaT = 95 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Ideales GasgesetzSchwer
Zustand 1Zustand 2

Eine feste Menge N₂ geht von 400 kPa, 10 L, 20 °C über zu 600 kPa und 250 °C. Bestimme das neue Volumen V2.

P1 = 400 kPaV1 = 10 LT1 = 20 °CP2 = 600 kPaT2 = 250 °C
V2 = L
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteGlykolgemisch · 160 °C130 °CWasser · 30 °Ct = ? °C

Heißes Glykolgemisch kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 160 → 130 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 30 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteEthanol · 150 °C120 °CWasser · 15 °C30 °C · ṁ = ?5 % Verlust

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 5 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 2,5 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 150 → 120 °Ct: 15 → 30 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 5 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 30 °CTL​ = 4 °CRQ̇H​ = ?Q̇L​ = 1 kWẆ

Eine reversible Kältemaschine hält einen Kühlraum auf 4 °C, indem sie 1 kW Wärme entzieht, und gibt Wärme an die Umgebung mit 30 °C ab. Bestimme den Wärmestrom Q̇H, den sie abgibt.

TL = 4 °CTH = 30 °CQ̇L = 1 kW
Q̇H = kW
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
600 °CTm​ = ?35 °CABWA​WB​

Zwei Carnot-Maschinen arbeiten hintereinander. Maschine A nimmt Wärme aus einem Reservoir mit 600 °C auf und gibt Wärme an ein Zwischenreservoir mit der Temperatur Tm ab. Maschine B nimmt diese gesamte Wärme auf und gibt Wärme an ein Reservoir mit 35 °C ab. Beide Maschinen verrichten dieselbe Arbeit. Bestimme Tm in °C.

TH = 600 °CTL = 35 °C
Tm = °C
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 22 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 2,2. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

r = 22rc = 2,2k = 1,4
η = %
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 10. Die Luft tritt mit 310 K in den Verdichter und mit 1300 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

rp = 10T1 = 310 KT3 = 1300 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: V = 11,92 L

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = 70/39,95 = 1,752 mol
T = 95 + 273,15 = 368,1 K

Volumen

V = nRT/P = 1,752·8,314·368,1/450 = 11,92 L

Antwort

V = 11,92 L
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V2 = 11,9 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P1V1/T1 = P2V2/T2.

Absolute Temperaturen

T1 = 293,1 K, T2 = 523,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 10·(400/600)·(523,1/293,1) = 11,9 L

Antwort

V2 = 11,9 L
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 36,46 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 0,5·3,6·(160 − 130) = 54 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 30 + 54/(2·4,18) = 36,46 °C

Antwort

tout = 36,46 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 2,773 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 2,5·2,44·(150 − 120) = 183 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,05)·183 = 173,8 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 173,8/(4,18·15) = 2,773 kg/s

Antwort

ṁc = 2,773 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Q̇H = 1,094 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 30 + 273,15 = 303,1 K
TL = 4 + 273,15 = 277,1 K

Wärmeverhältnis im reversiblen Fall

Q̇H = Q̇L·TH/TL = 1·303,1/277,1 = 1,094 kW

Antwort

Q̇H = 1,094 kW

Aufgenommene Leistung: Ẇ = 0,09381 kW.

6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Tm = 317,5 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 600 + 273,15 = 873,1 K
TL = 35 + 273,15 = 308,1 K

Gleiche Arbeit

W = Q·(1 − Tlow/Thigh), und Q/T ist an jedem Reservoir gleich, also ist W proportional zum Temperaturgefälle.

Tm = (873,1 + 308,1)/2 = 590,6 K = 317,5 °C

Antwort

Tm = 317,5 °C
7.Gaskreisprozesse

Antwort: η = 65,15 %

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Einspritzterm

(2,21,4 − 1)/(1,4·(2,2 − 1)) = 1,2

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 0,2904·1,2 = 65,15%

Antwort

η = 65,15%
8.Gaskreisprozesse

Antwort: wnet = 339,8 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Isentrope Temperaturen

T2 = 310·100,2857 = 598,5 K
T4 = 1300/100,2857 = 673,3 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

wc = 1,005·(598,5 − 310) = 290 kJ/kg
wt = 1,005·(1300 − 673,3) = 629,8 kJ/kg

Nutzarbeit

wnet = 629,8 − 290 = 339,8 kJ/kg

Antwort

wnet = 339,8 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 46,04%.

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