Technische Thermodynamik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Ideales Gasgesetz

Ideales Gasgesetz
pV = nRT
Gaskonstante
R = 8,314 J/(mol·K)
Allgemeine Gasgleichung
p1V1/T1 = p2V2/T2
Stoffmenge
n = m/M
Temperatur
T[K] = T[°C] + 273,15

Energiebilanz

Fühlbare Wärme
Q = ṁ·cp·ΔT
Latente Wärme
Q = ṁ·hfg
Mischen
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Wasser
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Wirkungsgrad
η = W/QH = 1 − QC/QH
Carnot-Wirkungsgrad
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
Leistungszahl der Kältemaschine
COPR = QC/W
Leistungszahl der Wärmepumpe
COPHP = QH/W = COPR + 1
Energiebilanz
QH = W + QC

Gaskreisprozesse

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Übungsaufgaben

1.Ideales GasgesetzMittel
320 g ArV = 50 LT = 10 °CP = ?

Ein Behälter mit 50 L enthält 320 g Ar bei 10 °C. Behandle es als ideales Gas und bestimme den Druck P.

m = 320 gM = 39,95 g/molV = 50 LT = 10 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Ideales GasgesetzSchwer
Zustand 1Zustand 2

Eine feste Menge He geht von 400 kPa, 5 L, 25 °C über zu 600 kPa und 170 °C. Bestimme das neue Volumen V2.

P1 = 400 kPaV1 = 5 LT1 = 25 °CP2 = 600 kPaT2 = 170 °C
V2 = L
3.EnergiebilanzMittel
heiße Seitekalte SeiteLeichtöl · 120 °C70 °CWasser · 15 °Ct = ? °C

Heißes Leichtöl kühlt Wasser in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager ohne Wärmeverlust. Bestimme die Austrittstemperatur des Wassers tout.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 120 → 70 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.EnergiebilanzSchwer
heiße Seitekalte SeiteEthanol · 180 °C150 °CWasser · 10 °C85 °C · ṁ = ?10 % Verlust

Heißes Ethanol erwärmt Wasser in einem Wärmeübertrager, der 10 % der vom heißen Strom abgegebenen Wärme an die Umgebung verliert. Bestimme den nötigen Wasserstrom ṁc.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 180 → 150 °Ct: 10 → 85 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Verlust = 10 %
ṁc = kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenMittel
TH​ = 400 °CTL​ = 35 °CEQH​ = 1400 kJQL​W = ?

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 400 °C und einem kalten Reservoir mit 35 °C. Sie nimmt 1400 kJ Wärme auf. Bestimme die größtmögliche Arbeit Wmax, die sie liefern könnte.

TH = 400 °CTL = 35 °CQH = 1400 kJ
Wmax = kJ
6.Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenSchwer
TH​ = 30 °CTL​ = 2 °CRQ̇H​Q̇L​ = 4,5 kWẆ

Ein Kühlschrank hält seinen Kühlraum auf 2 °C in einer Küche mit 30 °C und entzieht dem Kühlraum Wärme mit 4,5 kW. Bestimme die höchstmögliche Leistungszahl COPmax.

TH = 30 °CTL = 2 °CQ̇L = 4,5 kW
COPmax =
7.GaskreisprozesseMittel
vP1234qin​qout​

Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 15 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 1,5. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 305 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme qin pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r = 15rc = 1,5T1 = 305 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.GaskreisprozesseSchwer
vP1234qin​qout​

Eine Gasturbinenanlage arbeitet nach einem Joule-Prozess (Brayton) mit einem Verdichterdruckverhältnis von 6. Die Luft tritt mit 290 K in den Verdichter und mit 1100 K in die Turbine ein. Beide Maschinen arbeiten isentrop. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit wnet pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

rp = 6T1 = 290 KT3 = 1100 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Lösungen

1.Ideales Gasgesetz

Antwort: P = 377,1 kPa

Ideales Gasgesetz: PV = nRT, mit n = m/M.

Stoffmenge

n = m/M = 320/39,95 = 8,01 mol
T = 10 + 273,15 = 283,1 K

Druck

P = nRT/V = 8,01·8,314·283,1/0,05 = 377,1 kPa

Antwort

P = 377,1 kPa
2.Ideales Gasgesetz

Antwort: V2 = 4,954 L

Allgemeine Gasgleichung: Für eine feste Menge eines idealen Gases gilt P1V1/T1 = P2V2/T2.

Absolute Temperaturen

T1 = 298,1 K, T2 = 443,1 K

Allgemeine Gasgleichung

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 5·(400/600)·(443,1/298,1) = 4,954 L

Antwort

V2 = 4,954 L
3.Energiebilanz

Antwort: tout = 40,12 °C

Energiebilanz des Wärmeübertragers: Ohne Verluste gilt ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Vom heißen Strom abgegebene Wärme

Q = 2·2,1·(120 − 70) = 210 kW

Vom Wasser aufgenommene Wärme

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 210/(2·4,18) = 40,12 °C

Antwort

tout = 40,12 °C
4.Energiebilanz

Antwort: ṁc = 0,2101 kg/s

Energiebilanz mit Verlusten: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme + Wärmeverlust.

Abgegebene Wärme

Qh = 1·2,44·(180 − 150) = 73,2 kW

Wärme, die das Wasser erreicht

Qc = (1 − 0,1)·73,2 = 65,88 kW

Wasserstrom

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 65,88/(4,18·75) = 0,2101 kg/s

Antwort

ṁc = 0,2101 kg/s
5.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: Wmax = 759,1 kJ

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 400 + 273,15 = 673,1 K
TL = 35 + 273,15 = 308,1 K

Carnot-Wirkungsgrad

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 308,1/673,1 = 54,22 %

Maximale Arbeit

Wmax = ηmax·QH = 0,5422·1400 = 759,1 kJ

Antwort

Wmax = 759,1 kJ
6.Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

Antwort: COPmax = 9,827

Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.

Absolute Temperaturen

TH = 30 + 273,15 = 303,1 K
TL = 2 + 273,15 = 275,1 K

Bestmögliche Leistungszahl

COPR,max = TL/(TH − TL) = 275,1/(303,1 − 275,1) = 9,827

Antwort

COPmax = 9,827
7.Gaskreisprozesse

Antwort: qin = 452,8 kJ/kg

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Temperaturen

T2 = 305·150,4 = 901 K
T3 = 1,5·901 = 1352 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

qin = 1,005·(1352 − 901) = 452,8 kJ/kg

Antwort

qin = 452,8 kJ/kg
8.Gaskreisprozesse

Antwort: wnet = 248,1 kJ/kg

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Isentrope Temperaturen

T2 = 290·60,2857 = 483,9 K
T4 = 1100/60,2857 = 659,3 K

Verdichter- und Turbinenarbeit

wc = 1,005·(483,9 − 290) = 194,8 kJ/kg
wt = 1,005·(1100 − 659,3) = 442,9 kJ/kg

Nutzarbeit

wnet = 442,9 − 194,8 = 248,1 kJ/kg

Antwort

wnet = 248,1 kJ/kg

Rückarbeitsverhältnis: wc/wt = 43,99%.

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